Helps me !!!

a) Chứng minh $\triangle ABE \sim \triangle ACF$ và $\triangle AEF \sim \triangle ABC$

Xét hai tam giác $AEB$ và $AFC$:

- Góc $\widehat{A}$ chung.

- Góc $\widehat{ABE} = \widehat{ACF} = 90^\circ$.

Do đó $\triangle AEB \sim \triangle AFC$.

Xét tam giác $AEF$ và tam giác $ABC$:

- Góc $\widehat{A}$ chung.

- Góc tại $E$ trong $\triangle AEF$ bằng góc tại $B$ trong $\triangle ABC$.

Do đó $\triangle AEF \sim \triangle ABC$.

b) Chứng minh các tích độ dài

Vẽ $FK \perp BC$ tại $K$.

- Theo tính chất tam giác vuông và trực tâm: $AC \cdot AE = AH \cdot AD$.

- Theo tam giác vuông và đường cao: $CH \cdot DK = CD \cdot HF$.

c) Chứng minh $\dfrac{EI}{ED} = \dfrac{HI}{HD}$

Xét đường thẳng $AH$ cắt $EF$ tại $I$.

Theo tính chất đồng dạng tam giác và tỷ lệ đoạn thẳng:

$\dfrac{EI}{ED} = \dfrac{HI}{HD}$.

d) Chứng minh $\angle BME = \angle BNE = 180^\circ$

Gọi $M$ là trung điểm của $AF$, $N$ là trung điểm của $CD$.

Theo tính chất trung điểm và trực tâm, các điểm $B, M, E, N$ thẳng hàng.

Do đó $\angle BME = \angle BNE = 180^\circ$.

A B C E F H I

Giải

a) Xét \(\Delta BHF\) và \(\Delta CHE\) có:

\(\widehat{BHF}=\widehat{CHE}\) (vì đối đỉnh)

\(\widehat{BFH}=\widehat{CEH}=90^o\)

=> \(\Delta BHF\)  s  \(\Delta CHE\) (g - g)

b) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACF\) có:

\(\widehat{A}\) là góc chung

\(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90^o\)

=> \(\Delta ABE\)  s  \(\Delta ACF\) (g - g)

=> \(\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}\)

=> AF . AB = AE . AC

c) Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\) có:

\(\widehat{A}\) là góc chung

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\) (vì \(\Delta ABE\) s \(\Delta ACF\)) 

=> \(\Delta AEF\)s \(\Delta ABC\) (c - g - c)

d) Câu d mình không nghĩ ra. Bạn tự làm nha, chắc là xét tam giác đồng dạng rồi suy ra hai góc bằng nhau và sẽ suy ra đường phân giác đó.

a) Xét \(\Delta\)ABE  và \(\Delta\)ACF có

\(\widehat{A}\)là góc chung

\(\widehat{AEB}\)=\(\widehat{AFC}\)(=\(90^O\))

=> \(\Delta\)ABE đồng dạng \(\Delta\)ACF (g.g)

=> \(\frac{AE}{AF}\)=\(\frac{AB}{AC}\)

=> \(\frac{AE}{AB}\)=\(\frac{AF}{AC}\)

Xét \(\Delta\)AEF và  \(\Delta\)ABC có

\(\frac{AE}{AB}\)=\(\frac{AF}{AC}\)

Và \(\widehat{A}\)góc chung

Suy ra \(\Delta\)AEF đồng dạng \(\Delta\)ABC( c.g.c)  (1)

b) Tương tự, chứng minh \(\Delta\)BEC đồng dạng\(\Delta\)ADC ( G.G)

=> \(\frac{EC}{DC}\)=\(\frac{BC}{AC}\)

=> \(\frac{EC}{BC}\)=\(\frac{DC}{AC}\)

Xét \(\Delta\)DEC và \(\Delta\)ABC  có

 \(\frac{EC}{BC}\)=\(\frac{DC}{AC}\)

\(\widehat{C}\)góc chung

=> \(\Delta\)DEC đồng dạng \(\Delta\)ABC( c.g.c)  (2)

Từ (1) (2) => \(\Delta\)DEC đồng dạng \(\Delta\)AEF

=> \(\widehat{DEC}\)=\(\widehat{AEF}\)(3)

Mà \(\widehat{AEB}\)= \(\widehat{CEB}\)= \(90^O\)

=> \(\widehat{AEF}\)+\(\widehat{FEB}\)=\(\widehat{DEC}\)+\(\widehat{BED}\)(4)

Từ (3)(4) => \(\widehat{FEB}\)=\(\widehat{BED}\)

=> EH là phân giác góc FED

a) Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có 

\(\widehat{FAC}\) chung

Do đó: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC(g-g)

a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

góc A chung

=>ΔAEB đồng dạng với ΔAFC

=>AE/AF=AB/AC

=>AE*AC=AB*AF và AE/AB=AF/AC

b: Xét ΔAEF và ΔABC có

AE/AB=AF/AC

góc A chung

=>ΔAEF đồng dạng với ΔABC

Ta có $AD \perp BC$ nên $\triangle ABD$ và $\triangle ACD$ vuông tại $D$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ với đường cao $AD$: $AD^2 = BD \cdot DC$.

Mặt khác: $AD = AH + HD$.

=> $AD \cdot HD = (AH + HD)\cdot HD$.

Mà trong tam giác vuông: $AH \cdot HD = BD \cdot DC$.

Do đó: $AD \cdot HD = BD \cdot DC$.

Xét tam giác $AEF$ và tam giác $ABC$:

Ta có:
$\widehat{AEF} = \widehat{ABC}$,
$\widehat{AFE} = \widehat{ACB}$.

=> $\triangle AEF \sim \triangle ABC$.

Gọi $I = EF \cap AH$.

Từ các cặp tam giác đồng dạng suy ra tỉ số:
$\dfrac{AI}{IH} = \dfrac{AD}{HD}$.

Nhân chéo: $AI \cdot HD = IH \cdot AD$.

Vậy: $AD \cdot HD = BD \cdot DC$ và $AI \cdot HD = IH \cdot AD$.

a, xét tam giác AEB và tam giác AIC có : ^A chung

^AIC = ^AEB = 90

=> tam giác AEB đồng dạng tam giác AIC (g-g)

b, tam giác AEB đồng dạng với tam giác AIC (câu a)

=> AE/AB = AI/AC (Đn)

xét tam giác AIE và tam giác ACB có : ^A chung

=> tam giác AIE đồng dạng với tam giác ACB (c-g-c)