Bài giải

A B C D E F

a) Xét  \(\Delta AEF\) và \(\Delta CED\) có :

AE = CE ( E là trung điểm AC )

\(\widehat{ AEF}\) = \(\widehat{CED}\) ( đối đỉnh)

EF = ED ( gt )

\(\Rightarrow\)\(\Delta AEF =\Delta CED\) ( c.g.c)

\(\Rightarrow\text{ }AF=DC\)  ( 2 cạnh tương ứng ) 

b)

Xét \(\Delta AED\) và \(\Delta CEF\) có:

AE = EC (gt)

AED = CEF ( đối đỉnh)

ED = EF (gt)

Do đó, \(\Delta AED\)  =  \(\Delta CEF\) (c.g.c)

=> AD = CF (2 cạnh tương ứng)

ADE = CFE (2 góc tương ứng)

Mà ADE và CFE là 2 góc so le trong

nên CF // AD hay CF // AB hay CF//DB

Nối đoạn CD

Xét \(\Delta BDC\) và \(\Delta FCD\) có:

BD = FC ( cùng = AD)

BDC = FCD (so le trong)

CD là cạnh chung

Do đó, \(\Delta BDC\)  = \(\Delta FCD\)  (c.g.c)

=> BC = FD ( 2 cạnh tương ứng )

Mà \(DE=EF=\frac{1}{2}FD\) 

=>DE=1/2 BC ( đpcm)

Lại có : \(\Delta BDC=\Delta FCD\)( cmt)

=> BCD = FDC (2 góc tương ứng)

Mà BCD và FDC là 2 góc so le trong nên DF // BC hay DE // BC ( E thuộc DF) ( đpcm)

a: Xét ΔEAI và ΔECD có

EA=EC

góc AEI=góc CED

EI=ED

=>ΔEAI=ΔECD

=>AI=CD

b: ΔEAI=ΔECD

=>góc EAI=góc ECD

=>AI//CD

c: Xét ΔDAI và ΔBDC có

DA=BD

AI=DC

DI=BC

=>ΔDAI=ΔBDC

d: Xét ΔABC có 

D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC

nên DE là đường trung bình

=>DE=1/2BC và ED//BC

Xét 2 tam giác AIE và tam giác DCE ta có: EI=ED(gt);AE=EC(vì E là trung điem của AC); góc AEI=góc  DEC(vì 2 góc đoi đinh)=>tam giác AIE=tam giác DCE(c.g.c)=>AI=DC(2 cạnh tương ứng)

a, D;E Lần lượt là trung điểm của AB và AC (gt)

=> DE là đtb của tam giác ABC (Đn)

=> DE = 1/2BC => 2DE = BC (đl)

DE = EI => DI = 2DE 

=> DI = BC 

b, 

E B A C M D O

a) Xét tam giác CMA và tam giác BMD có : 

\(\hept{\begin{cases}MC=MB\\AM=MD\\\widehat{AMC}=\widehat{BMD}\end{cases}\Rightarrow\Delta CMA=\Delta BMD}\)

=> \(\hept{\begin{cases}AC=BD\\\widehat{BDM}=\widehat{ACM}\end{cases}\Rightarrow BD//AC}\)

=> ACBD là hình bình hành 

=> \(\hept{\begin{cases}AB=CD\\AB//CD\end{cases}}\)=> đpcm 

b) Xét tam giác ABC và tam giác CDA có : 

\(\hept{\begin{cases}AB=CD\\\widehat{CAB}=\widehat{ACD}=90^∗\end{cases}\Rightarrow\Delta ABC=\Delta CDA}\)( Lưu ý : Vì không có dấu kí hiệu " độ " nên em dùng tạm dấu *)  

        Chung AC 

=> AD=BC

=> \(AM=\frac{1}{2}.AD=\frac{1}{2}.BC\)=> đpcm 

c) Xét tam giác ABC có : 

M là trung điểm BC 

A là trung điểm CE 

Từ 2 điều trên =>AM là đường trung bình => AM//BE ( đpcm ) 

e) AM //BE => AD // BE 

Tam giác CBE có BA vừa là đường cac ,vừa là trung tuyến => tam giác CBE cân ở B 

=> \(\hept{\begin{cases}BC=BE\\AD=BC\end{cases}\Rightarrow AD=EB}\)

Mà AD//BE => ABDE là hình bình hành => AB cắt DE ở trung điểm 

=> E,O , D thẳng hàng => đpcm 

a) xét tam giác MAD và tam giác MCB có:

MB=MD(gt)

MA=MC(gt)

AMD=BMC( 2 góc đđ)

suy ra tam giác MAD=MCB(c.g.c)

suy ra ADB=DBC suy ra AD//BC(1)

CM tương tự ta có tam giác EAN=CBN suy ra EA//BC(2)

từ (1)(2) suy ra AD//BC và EA// BC 

suy ra A,D,E thẳng hàng

b) theo câu a, ta có tam giác ADM=CBM (c.g.c) suy ra AD=BC

theo câu a, ta có: tam giác AEN=BCN(c.g.c) suy ra EA=BC

từ 2 điều trên suy ra AD=EA

và theo câu a, ta có: a,d,e thẳng hàng

suy ra A là trung điểm của ED

a)Xét \(\Delta DEC\)và\(\Delta FEA\)có:

EC=AE(E là trung điểm của AC)

\(\widehat{CED}=\widehat{AEF}\)(2 góc đối đỉnh)

DE=FE(gt)

=>\(\Delta DEC=\Delta FEA\left(c-g-c\right)\)

=>FA=DC(2 cạnh tương ứng)

b)Vì \(\Delta DEC=\Delta FEA\)=>\(\widehat{FAE}=\widehat{ECD}\)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong=>FA//DC

=>\(\widehat{FAD}=\widehat{CDB}\)(2 góc đồng vị)

Xét \(\Delta ADF\)và\(\Delta DBC\)có:

FA=DC(theo phần b)

\(\widehat{FAD}=\widehat{CDB}\)(cmt)

AD=DB(D là trung điểm của AB)

=>DF=BC                             ;            \(\widehat{ADF}=\widehat{DBC}\)

mà \(DF=2DE\)           ;            Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=>\(BC=2DE\)             ;            =>DE//BC

=>DE=\(\frac{1}{2}BC\)

Vậy DE=\(\frac{1}{2}\)BC;DE//BC