Xét ΔDAC có

F,E lần lượt là trung điểm của DC,DB

=>FE là đường trung bình của ΔDAC

=>FE//CB

mà CB⊥BA

nên FE⊥AB

Xét ΔFBA có

FE,BD là các đường cao

FE cắt BD tại E

Do đó: E là trực tâm của ΔFBA

=>AE⊥BF tại H

Trong tam giác BDC ta có E, F lần lượt là trung điểm BD, CD nên EF là đường trung bình của tam giác BDC
=>EF//BC
Vì BC vuông góc AB=>EF vuông góc AB

Trong tam giác ABF ta có:BD vuông góc AF , EF vuông góc AB => E là trực tâm của tam giác nên góc AHB = 90*

a: Xét tứ giác AMDN có

AM//DN

AN//DM

Do đó: AMDN là hình bình hành

Hình bình hành AMDN có \(\hat{MAN}=90^0\)

nên AMDN là hình chữ nhật

b: AMDN là hình chữ nhật

=>\(\hat{ANM}=\hat{ADM}\)

mà \(\hat{ADM}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{DAB}\right)\)

nên \(\hat{ANM}=\hat{ABC}\)

ΔABC vuông tại A

mà AE là đường trung tuyến

nên EA=EB=EC

EA=EC

=>ΔEAC cân tại E

=>\(\hat{EAC}=\hat{ECA}\)

\(\hat{EAC}+\hat{ANM}=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>AE⊥NM

c: AMDN là hình chữ nhật

=>AD cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AD và MN

AMDN là hình chữ nhật

=>AD=MN

mà \(OA=OD=\frac{AD}{2};OM=ON=\frac{MN}{2}\)

nên OA=OD=OM=ON

ΔDMB vuông tại M

mà MI là đường trung tuyến

nên IM=IB=ID

ΔCND vuông tại N

mà NK là đường trung tuyến

nên KN=KC=KD

Xét ΔKNO và ΔKDO có

KN=KD

NO=DO

KO chung

Do đó: ΔKNO=ΔKDO

=>\(\hat{KNO}=\hat{KDO}=90^0\)

=>KN⊥NM(1)

Xét ΔODI và ΔOMI có

OD=OM

DI=MI

OI chung

Do đó: ΔODI=ΔOMI

=>\(\hat{ODI}=\hat{OMI}\)

=>\(\hat{OMI}=90^0\)

=>NM⊥MI

mà NK⊥NM

nên MI//NK

=>MNKI là hình thang

Hình thang MNKI có NK⊥NM

nên MNKI là hình thang vuông

a) Ta có E, K lần lượt là trung điểm của BD và CD nên EK là đường trung bình của ΔBCD

⇒EK//BC mà HF⊥BC(gt) 

⇒HF⊥EK.

 Ta có F, K lần lượt là trung điểm của AC và CD nên FK là đường trung bình của ΔACDΔACD

⇒FK//AD mà EH⊥AD(gt)

⇒EH⊥FK.

Xét tam giác EFK có hai đường cao EH và FH cắt nhau tại H 

Do đó H là trực tâm của ΔEFK.

b) Gọi I là trung điểm của AD, ta có IE là đường trung bình của ΔABD

⇒IE//AB//CD (1)

Và IF là đường trung bình của ΔACD⇒IF//DC   (2)

Từ (1) và (2) ⇒ IE và IF phải trùng nhau (tiên đề Ơ clit) hay ba điểm I, E, F thẳng hàng.

Hay EF//DC mà KH⊥EF (H là trực tâm ΔEFK)⇒KH⊥DC.

Vì vậy xét ΔDHC có đường trung tuyến HK đồng thời là đường cao nên ΔDHC cân tại H.

a: Xét tứ giác AMDN có

AM//DN

AN//DM

Do đó: AMDN là hình bình hành

Hình bình hành AMDN có \(\hat{MAN}=90^0\)

nên AMDN là hình chữ nhật

=>AD=MN

b: AMDN là hình chữ nhật

=>AD cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AD và MN

Ta có: \(OA=OD=\frac{AD}{2}\)

\(OM=ON=\frac{MN}{2}\)

mà MN=AD

nên OA=OD=OM=ON

ΔDMB vuông tại M

mà MI là đường trung tuyến

nên IM=IB=ID

ΔCND vuông tại N

mà NK là đường trung tuyến

nên KN=KD=KC

Xét ΔKNO và ΔKDO có

KN=KD

NO=DO

KO chung

Do đó: ΔKNO=ΔKDO

=>\(\hat{KNO}=\hat{KDO}=90^0\)

=>MN⊥NK(1)

Xét ΔOMI và ΔODI có

OM=OD

MI=DI

OI chung

Do đó; ΔOMI=ΔODI

=>\(\hat{OMI}=\hat{ODI}=90^0\)

=>MN⊥MI(2)

Từ (1),(2) suy ra NK//MI

Xét tứ giác MNKI có

MI//KN

MI⊥MN

Do đó; MNKI là hình thang vuông

a) ED là đường TB ⇒ED//BC⇒EDBC⇒ED//BC⇒EDBC là hbh
b) Ta có EM là đường TB của ΔABNΔABN
⇒EM//AN⇒EM//KN⇒EM//AN⇒EM//KN
Vì N là trung điểm MC ⇒K⇒K là trung điểm EC
c) C/m tương tự được I là trung điểm BD
Ta có OI=OB2OI=OB2 (O là giao điểm trung tuyến , quên đưa vào hình )
DI=3OB4DI=3OB4
OI=OB4OI=OB4
Chưng minh tương tự được OK=OC4OK=OC4
Vì OIOB=OKOC=14OIOB=OKOC=14
⇒IK//BC⇒IKBC=14⇒IK//BC⇒IKBC=14