Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu (a+b+c).(b+c-a)=3bc thì \(\widehat{A}=60^o\)

b) Nếu \(\frac{b^3+c^3-a^3}{b+c-a}\)=a² thì \(\widehat{A}=60^o\)

c) Nếu cos.(A+C)+3.cosB=1 thì \(\widehat{B}=60^o\)

d) Nếu b.(b²-a²)=c.(a²-c²) thì \(\widehat{A}=60^o\)

1. Cho \(\Delta ABC\) . gọi M là điểm thuộc cạnh AB, n là điểm thuộc cạnh AC sao cho \(AM=\frac{1}{2}AB\) , \(AN=\frac{3}{4}AC\) . gọi O là giao điểm của CM và BN. trên đường thẳng BC lấy E. đặt \(\overrightarrow{BE}=x\overrightarrow{BC}\)

a) Phân tích \(\overrightarrow{AO}\) theo \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\)

b) tìm x để A,E,O thẳng hàng

2. cho tam giác ABC đều cạnh \(2\sqrt{3}\) , d là đường thẳng qua B và tạo với AB 1 góc 60⁰ \(\left(C\notin\Delta\right)\) . tìm GTNN của \(A=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right|\)

Cho tam giác ABC có \(\widehat{BAC}=60^0;AB=4;AC=6\)

a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}\), độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b) Lấy các điểm M, N định bởi : \(2\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{NB}+x\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0};\left(x\ne-1\right)\). Định \(x\) để AN vuông góc với BM ?

1. cho \(\Delta ABC\) có m_b=4, m_c=2, a=3, tính độ dài các cạnh AB, AC

2. cho \(\Delta ABC\) AB=3, AC=4 và diện tích S=\(3\sqrt{3}\) tính cạnh BC

3. tính bán kính đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\) biết AB=2. AC=3, BC=4

4. tính góc A của \(\Delta ABC\) có các cạnh a,b,c thỏa mãn hệ thức b(b²-a²)=c(a²-c²)

5. cho \(\Delta ABC\) chứng minh rằng

a. \(\frac{\tan A}{\tan B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{c^2+b^2-a^2}\)

b. \(c^2=\left(a-b\right)^2\) \(+4S.\frac{1-\cos C}{\sin C}\)

c. S=2R².\(\sin A.\sin B.\sin C\)