a: Ta có: DB=DC

=>\(S_{ADB}=S_{ADC};S_{GDB}=S_{GDC}\)

=>\(S_{ADB}-S_{GDB}=S_{ADC}-S_{GDC}\)

=>\(S_{AGB}=S_{AGC}\) (1)

Ta có; EA=EC

=>\(S_{BEA}=S_{BEC};S_{GEA}=S_{GEC}\)

=>\(S_{BEA}-S_{GEA}=S_{BEC}-S_{GEC}\)

=>\(S_{BGA}=S_{BGC}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(S_{AGB}=S_{AGC}=S_{GBC}\)

mà \(S_{AGB}+S_{AGC}+S_{BGC}=S_{ABC}\)

nên \(S_{AGB}=S_{AGC}=S_{BGC}=\frac{S_{ABC}}{3}\)

D là trung điểm của BC

=>\(S_{BGD}=\frac12\cdot S_{BGC}\)

M là trung điểm của BG

=>\(GM=\frac12GB\)

=>\(S_{GDM}=\frac12\cdot S_{BGD}=\frac14\cdot S_{BGC}\)

=>\(S_{GDM}=\frac14\cdot\frac13\cdot S_{ABC}=\frac{1}{12}\cdot S\)

=>\(S_{GDM}=\frac{S}{12}\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên \(AM=\frac{BC}{2}=5\left(\operatorname{cm}\right)\)

E là trung điểm của AC

=>\(AE=EC=\frac{AC}{2}=4\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔABE vuông tại A

=>\(AB^2+AE^2=BE^2\)

=>\(BE^2=4^2+6^2=16+36=52\)

=>\(BE=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\left(\operatorname{cm}\right)\)

F là trung điểm của AB

=>\(FA=FB=\frac{AB}{2}=3\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔCAF vuông tại A

=>\(AC^2+AF^2=FC^2\)

=>\(FC^2=3^2+8^2=9+64=73\)

=>\(FC=\sqrt{73}\) (cm)

ta có: S_ABM=\(\frac{1}{2}AM.BE=\frac{1}{2}.13.7=45,5cm^2\)

ta có ; S_ABM=\(\frac{1}{2}.AM.BE=\frac{1}{2}.13.7=45,5cm^2\)

mà trong tam giác ABC thì AM là đường trung tuyến nên: S_ABM=S_ACM=>S_ABC=2S_{ABM=2.45,5=91cm²}