Lời giải:

Xét tam giác vuông $ABH$:

$\frac{AH}{AB}=\sin B\Rightarrow AH=AB.\sin B=12.\sin 40^0=12\sin 40^0=7,71$ (cm)

Xét tam giác vuông $AHC$:

$\frac{AH}{AC}=\sin C\Rightarrow AC=\frac{AH}{\sin C}=\frac{7,71}{\sin 30^0}=15,42$ (cm)

A B C H

\(cosC=cos30^0=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow\)\(BC=\frac{AC.2}{\sqrt{3}}=\frac{16}{\sqrt{3}}\)

\(tanC=tan30^0=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow\)\(AB=\frac{AC}{\sqrt{3}}=\frac{8}{\sqrt{3}}\)

\(sinC=sin30^0=\frac{AH}{AC}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\)\(AH=\frac{AC}{2}=4\)

a) Xét ΔABC vuông tại A có 

\(AB=BC\cdot\sin30^0\)

\(=10\cdot\dfrac{1}{2}=5\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=10^2-5^2=75\)

hay \(AC=5\sqrt{3}\left(cm\right)\)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

\(\Leftrightarrow AH\cdot10=5\cdot5\sqrt{3}=25\sqrt{3}\)

hay \(AH=\dfrac{25\sqrt{3}}{10}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\left(cm\right)\)

khó ghê

Xét ΔABC có \(\hat{A}+\hat{C}+\hat{B}=180^0\)

=>\(\hat{B}=180^0-20^0-30^0=130^0\)

Xét ΔABC có \(\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}\)

=>\(\frac{AC}{\sin130}=\frac{12}{\sin20}\)

=>AC≃26,88(cm)

Diện tích tam giác CAB là:

\(S_{CAB}=\frac12\cdot CA\cdot CB\cdot\sin ACB=\frac12\cdot26,88\cdot12\cdot\sin30=80,64\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

=>\(\frac12\cdot AH\cdot BC=80,64\)

=>\(AH\cdot6=80,64\)

=>AH=80,64/6=13,44(cm)

a: Xét ΔAHB vuông tại H có \(\sin B=\frac{AH}{AB}\)

=>\(AH=AB\cdot\sin B=8\cdot\sin45=8\cdot\frac{1}{\sqrt2}=4\sqrt2\) ≃5,66(cm)

b: ΔAHB vuông tại H có \(\hat{HBA}=45^0\)

nên ΔAHB vuông cân tại H

=>\(HB=HA=4\sqrt2\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có tan C\(=\frac{AH}{HC}\)

=>\(HC=\frac{AH}{\tan60}=\frac{4\sqrt2}{\tan60}=\frac{4\sqrt2}{\sqrt3}=\frac{4\sqrt6}{3}\) (cm)

BC=BH+CH

=>\(BC=\frac{4\sqrt6}{3}+4\sqrt2\) ≃8.92(cm)