Sửa đề: G là trọng tâm của ΔABC

a: Nửa chu vi của tam giác ABC là: \(p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{15+18+27}{2}=\frac{33+27}{2}=30\)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S=\sqrt{30\left(30-15\right)\left(30-18\right)\left(30-27\right)}=\sqrt{30\cdot15\cdot12\cdot3}=\sqrt{15\cdot15\cdot36\cdot2}=15\cdot6\sqrt2=90\sqrt2\)

b: Gọi N là giao điểm của BG và AC, M là giao điểm của AG và BC

Xét ΔABC có G là trọng tâm

nên M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC

Ta có: NA=NC

=>\(S_{BNA}=S_{BNC};S_{GNA}=S_{GNC}\)

=>\(S_{BNA}-S_{GNA}=S_{BNC}-S_{GNC}\)

=>\(S_{BGA}=S_{BGC}\) (1)

Ta có; MB=MC

=>\(S_{AMB}=S_{AMC};S_{GMB}=S_{GMC}\)

=>\(S_{AMB}-S_{GMB}=S_{AMC}-S_{GMC}\)

=>\(S_{AGB}=S_{AGC}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(S_{AGB}=S_{AGC}=S_{BGC}\)

mà \(S_{AGB}+S_{AGC}+S_{BGC}=S_{ABC}\)

nên \(S_{GBC}=\frac{S_{ABC}}{3}=\frac{90\sqrt2}{3}=30\sqrt2\)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\)\( \Rightarrow \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

Mà \(AB = c = 5,{\rm{ }}AC = b = 6,{\rm{ }}BC = a = 7\).

\( \Rightarrow \cos A = \frac{{{6^2} + {5^2} - {7^2}}}{{2.5.6}} = \frac{1}{5}\)

Chú ý

Từ định lí cosin, ta suy cách tìm góc khi biết độ dài 3 cạnh

\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\;\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\;\cos C = \frac{{{b^2} + {a^2} - {c^2}}}{{2ab}}.\)

Xét ΔABC có

\(cosC=\dfrac{CA^2+CB^2-AB^2}{2\cdot CA\cdot CB}\)

=>\(\dfrac{8^2+6^2-AB^2}{2\cdot6\cdot8}=cos30=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

=>\(100-AB^2=48\sqrt{3}\)

=>\(AB=\sqrt{100-48\sqrt{3}}\simeq4,11\)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BA\cdot BC\cdot sinC\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot8\cdot sin30=3\cdot8\cdot\dfrac{1}{2}=3\cdot4=12\)

\(AB=\sqrt{AC^2+BC^2-2.AC.BC.cosC}\)

\(AB=4,11\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}. AC.BC.sinC\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}. 8.6.sin 30^o\)

\(S_{ABC}=12\)

Áp dụng định lý hàm cosin:

\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2-2AB.BC.cosB}=\sqrt{2^2+3^2-2.2.3.cos60^0}=\sqrt{2}\)

Diện tích tam giác:

\(S=\dfrac{1}{2}AB.BC.sinB=\dfrac{1}{2}.2.3.sin60^0=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)

Kẻ đường cao AH

\(\Rightarrow\Delta AHB\text{ vuông cân tại }H\\ \Rightarrow AH=HB=\cos45^0\cdot AB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot4=2\sqrt{2}\\ \Rightarrow HC=BC-HB=5-2\sqrt{2}\\ \Rightarrow AC=\sqrt{HC^2+AH^2}\approx3,57\\ \Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot5=5\sqrt{2}\left(đvdt\right)\)

\(cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}=-\dfrac{1}{32}\)

\(\Rightarrow A\approx92^0\)

\(p=\dfrac{AB+AC+BC}{2}=\dfrac{31}{2}\)

\(S_{ABC}=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}\simeq40\)

\(r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{80}{31}\)

a) Diện tích \({S_1}\) của tam giác IAB là: \({S_1} = \frac{1}{2}r.AB = \frac{1}{2}r.c\)

Diện tích \({S_2}\) của tam giác IAC là: \({S_2} = \frac{1}{2}r.AC = \frac{1}{2}r.b\)

Diện tích \({S_3}\) của tam giác IBC là: \({S_3} = \frac{1}{2}r.BC = \frac{1}{2}r.a\)

b) Diện tích S của tam giác ABC là:

 \(\begin{array}{l}S = {S_1} + {S_2} + {S_3} = \frac{1}{2}r.c + \frac{1}{2}r.b + \frac{1}{2}r.a = \frac{1}{2}r.(c + b + a)\\ \Leftrightarrow S = \frac{{r(a + b + c)}}{2}\end{array}\)

Áp dụng hệ quả định lí cô sin trong tam giác ta có:

  cos A = 2 2 + 2 2 − 1 2 2.2.2 = 7 8

Chọn C.