\(cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}=\dfrac{2}{3}\)

\(sinA=\sqrt{1-cos^2A}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC.sinA=6\sqrt{5}\)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\)\( \Rightarrow \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

Mà \(AB = c = 5,{\rm{ }}AC = b = 6,{\rm{ }}BC = a = 7\).

\( \Rightarrow \cos A = \frac{{{6^2} + {5^2} - {7^2}}}{{2.5.6}} = \frac{1}{5}\)

Chú ý

Từ định lí cosin, ta suy cách tìm góc khi biết độ dài 3 cạnh

\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\;\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\;\cos C = \frac{{{b^2} + {a^2} - {c^2}}}{{2ab}}.\)

Sửa đề: G là trọng tâm của ΔABC

a: Nửa chu vi của tam giác ABC là: \(p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{15+18+27}{2}=\frac{33+27}{2}=30\)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S=\sqrt{30\left(30-15\right)\left(30-18\right)\left(30-27\right)}=\sqrt{30\cdot15\cdot12\cdot3}=\sqrt{15\cdot15\cdot36\cdot2}=15\cdot6\sqrt2=90\sqrt2\)

b: Gọi N là giao điểm của BG và AC, M là giao điểm của AG và BC

Xét ΔABC có G là trọng tâm

nên M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC

Ta có: NA=NC

=>\(S_{BNA}=S_{BNC};S_{GNA}=S_{GNC}\)

=>\(S_{BNA}-S_{GNA}=S_{BNC}-S_{GNC}\)

=>\(S_{BGA}=S_{BGC}\) (1)

Ta có; MB=MC

=>\(S_{AMB}=S_{AMC};S_{GMB}=S_{GMC}\)

=>\(S_{AMB}-S_{GMB}=S_{AMC}-S_{GMC}\)

=>\(S_{AGB}=S_{AGC}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(S_{AGB}=S_{AGC}=S_{BGC}\)

mà \(S_{AGB}+S_{AGC}+S_{BGC}=S_{ABC}\)

nên \(S_{GBC}=\frac{S_{ABC}}{3}=\frac{90\sqrt2}{3}=30\sqrt2\)

\(cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}=-\dfrac{1}{32}\)

\(\Rightarrow A\approx92^0\)

\(p=\dfrac{AB+AC+BC}{2}=\dfrac{31}{2}\)

\(S_{ABC}=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}\simeq40\)

\(r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{80}{31}\)

Kẻ đường cao AH

\(\Rightarrow\Delta AHB\text{ vuông cân tại }H\\ \Rightarrow AH=HB=\cos45^0\cdot AB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot4=2\sqrt{2}\\ \Rightarrow HC=BC-HB=5-2\sqrt{2}\\ \Rightarrow AC=\sqrt{HC^2+AH^2}\approx3,57\\ \Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot5=5\sqrt{2}\left(đvdt\right)\)

a: A(5;3); B(-2;-1); C(-1;5)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2-5;-1-3\right)=\left(-7;-4\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(-1+2;5+1\right)=\left(1;6\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-1-5;5-3\right)=\left(-6;2\right)\)

\(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-7+2\cdot1;-4+2\cdot6\right)\)

=>\(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-5;8\right)\)

=>\(\left(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{AC}=\left(-5\right)\cdot\left(-6\right)+2\cdot8=30+16=46\)

\(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-7-2\cdot1;-4-2\cdot6\right)\)

=>\(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-9;-16\right)\)

=>\(\left(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-9\right)\cdot1+\left(-16\right)\cdot6=-9-96=-105\)

b: Tọa độ trọng tâm của ΔABC là:

\(\begin{cases}x_{G}=\frac13\cdot\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\frac13\left(5-2-1\right)=\frac23\\ y_{G}=\frac13\cdot\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\frac13\cdot\left(3-1+5\right)=\frac13\cdot7=\frac73\end{cases}\)

c: Gọi H(x;y) là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC và BH⊥AC

=>\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0;\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

A(5;3); H(x;y); B(-2;-1); C(-1;5)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-6;2\right);\overrightarrow{BH}=\left(x+2;y+1\right)\)

\(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

=>-6(x+2)+2(y+1)=0

=>-3(x+2)+y+1=0

=>-3x-6+y+1=0

=>y-3x-5=0

=>y=3x+5

\(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right);\overrightarrow{AH}=\left(x-5;y-3\right)\)

\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)

=>1(x-5)+6(y-3)=0

=>x-5+6y-18=0

=>x+6y-23=0

=>x+6y=23

=>x+6(3x+5)=23

=>x+18x+30=23

=>19x=-7

=>x=-7/19

=>\(y=3x+5=3\cdot\frac{-7}{19}+5=-\frac{21}{19}+5=\frac{-21+95}{19}=\frac{74}{19}\)

=>H(-7/19;74/19)

d: AH⊥BC

nên AH sẽ đi qua A và AH nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường cao AH là:

1(x-5)+6(y-3)=0

=>x-5+6y-18=0

=>x+6y-23=0

\(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (-6;1)

Phương trình BC là:

-6(x+2)+1(y+1)=0

=>-6x-12+y+1=0

=>-6x+y-11=0

=>y=6x+11

x+6y-23=0

=>x+6(6x+11)-23=0

=>x+36x+66-23=0

=>37x=-43

=>\(x=-\frac{43}{37}\)

=>\(y=6x+11=6\cdot\frac{-43}{37}+11=\frac{149}{37}\)

=>Tọa độ chân đường cao kẻ từ A xuống BC là K(-43/37;149/37)

e: \(AB=\sqrt{\left(-7\right)^2+\left(-4\right)^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}\)

\(BC=\sqrt{1^2+6^2}=\sqrt{37}\)

\(AC=\sqrt{\left(-6\right)^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)

Xét ΔABC có \(cosBAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

\(=\frac{65+40-37}{2\cdot\sqrt{65}\cdot2\sqrt{10}}=\frac{68}{4\sqrt{650}}=\frac{17}{\sqrt{650}}\)

=>\(\sin BAC=\sqrt{1-\left(\frac{17}{\sqrt{650}}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{289}{650}}=\sqrt{\frac{361}{650}}=\frac{19}{\sqrt{650}}\)

Diện tích tam giác BAC là:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin BAC\)

\(=\frac12\cdot\sqrt{65}\cdot2\sqrt{10}\cdot\frac{19}{\sqrt{650}}=19\)

a: A(5;3); B(-2;-1); C(-1;5)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2-5;-1-3\right)=\left(-7;-4\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(-1+2;5+1\right)=\left(1;6\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-1-5;5-3\right)=\left(-6;2\right)\)

\(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-7+2\cdot1;-4+2\cdot6\right)\)

=>\(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-5;8\right)\)

=>\(\left(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{AC}=\left(-5\right)\cdot\left(-6\right)+2\cdot8=30+16=46\)

\(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-7-2\cdot1;-4-2\cdot6\right)\)

=>\(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-9;-16\right)\)

=>\(\left(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-9\right)\cdot1+\left(-16\right)\cdot6=-9-96=-105\)

b: Tọa độ trọng tâm của ΔABC là:

\(\begin{cases}x_{G}=\frac13\cdot\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\frac13\left(5-2-1\right)=\frac23\\ y_{G}=\frac13\cdot\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\frac13\cdot\left(3-1+5\right)=\frac13\cdot7=\frac73\end{cases}\)

c: Gọi H(x;y) là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC và BH⊥AC

=>\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0;\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

A(5;3); H(x;y); B(-2;-1); C(-1;5)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-6;2\right);\overrightarrow{BH}=\left(x+2;y+1\right)\)

\(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

=>-6(x+2)+2(y+1)=0

=>-3(x+2)+y+1=0

=>-3x-6+y+1=0

=>y-3x-5=0

=>y=3x+5

\(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right);\overrightarrow{AH}=\left(x-5;y-3\right)\)

\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)

=>1(x-5)+6(y-3)=0

=>x-5+6y-18=0

=>x+6y-23=0

=>x+6y=23

=>x+6(3x+5)=23

=>x+18x+30=23

=>19x=-7

=>x=-7/19

=>\(y=3x+5=3\cdot\frac{-7}{19}+5=-\frac{21}{19}+5=\frac{-21+95}{19}=\frac{74}{19}\)

=>H(-7/19;74/19)

d: AH⊥BC

nên AH sẽ đi qua A và AH nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường cao AH là:

1(x-5)+6(y-3)=0

=>x-5+6y-18=0

=>x+6y-23=0

\(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (-6;1)

Phương trình BC là:

-6(x+2)+1(y+1)=0

=>-6x-12+y+1=0

=>-6x+y-11=0

=>y=6x+11

x+6y-23=0

=>x+6(6x+11)-23=0

=>x+36x+66-23=0

=>37x=-43

=>\(x=-\frac{43}{37}\)

=>\(y=6x+11=6\cdot\frac{-43}{37}+11=\frac{149}{37}\)

=>Tọa độ chân đường cao kẻ từ A xuống BC là K(-43/37;149/37)

e: \(AB=\sqrt{\left(-7\right)^2+\left(-4\right)^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}\)

\(BC=\sqrt{1^2+6^2}=\sqrt{37}\)

\(AC=\sqrt{\left(-6\right)^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)

Xét ΔABC có \(cosBAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

\(=\frac{65+40-37}{2\cdot\sqrt{65}\cdot2\sqrt{10}}=\frac{68}{4\sqrt{650}}=\frac{17}{\sqrt{650}}\)

=>\(\sin BAC=\sqrt{1-\left(\frac{17}{\sqrt{650}}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{289}{650}}=\sqrt{\frac{361}{650}}=\frac{19}{\sqrt{650}}\)

Diện tích tam giác BAC là:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin BAC\)

\(=\frac12\cdot\sqrt{65}\cdot2\sqrt{10}\cdot\frac{19}{\sqrt{650}}=19\)