1.

Tọa độ A là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+2=0\\2x-3y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-5\\y=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A\left(-5;-3\right)\)

Phương trình BC qua B và vuông góc đường cao kẻ từ A có dạng:

\(1\left(x-2\right)+1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x+y-3=0\)

Gọi M là trung điểm BC thì tọa độ M thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3y+1=0\\x+y-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(\dfrac{8}{5};\dfrac{7}{5}\right)\)

M là trung điểm BC \(\Rightarrow C\left(\dfrac{6}{5};\dfrac{9}{5}\right)\)

2.

Do C thuộc AC nên tọa độ có dạng: \(C\left(c;2c+3\right)\)

Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow M\left(\dfrac{c+4}{2};\dfrac{2c+5}{2}\right)\)

M thuộc trung tuyến kẻ từ A nên:

\(\dfrac{c+4}{2}+\dfrac{2c+5}{2}-1=0\Leftrightarrow c=-\dfrac{7}{3}\)

\(\Rightarrow C\left(-\dfrac{7}{3};-\dfrac{5}{3}\right)\)

a: A(-3;2); B(1;1)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(1+3;1-2\right)=\left(4;-1\right)\)

=>Phương trình đường cao ứng với cạnh AB sẽ đi qua C(0;-2) và nhận \(\overrightarrow{AB}=\left(4;-1\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường cao ứng với cạnh AB là:

4(x-0)+(-1)(y+2)=0

=>4x-y-2=0

A(-3;2); C(0;-2)

=>\(\overrightarrow{AC}=\left(0+3;-2-2\right)=\left(3;-4\right)\)

=>Phương trình đường cao ứng với cạnh AC sẽ đi qua B(1;1) và nhận \(\overrightarrow{AC}=\left(3;-4\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường cao ứng với cạnh AC là:

3(x-1)+(-4)(y-1)=0

=>3x-3-4y+4=0

=>3x-4y+1=0

B(1;1); C(0;-2)

=>\(\overrightarrow{BC}=\left(0-1;-2-1\right)=\left(-1;-3\right)=\left(1;3\right)\)

=>Phương trình đường cao ứng với cạnh BC sẽ đi qua A(-3;2) và nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(1;3\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường cao ứng với cạnh BC là:

1(x+3)+3(y-2)=0

=>x+3+3y-6=0

=>x+3y-3=0

Tọa độ trung điểm M của AB là:

\(\begin{cases}x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{-3+1}{2}=-\frac22=-1\\ y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{2+1}{2}=\frac32=1,5\end{cases}\)

=>M(-1;1,5)

C(0;-2); M(-1;1,5)

\(\overrightarrow{CM}=\left(-1-0;1,5+2\right)=\left(-1;3,5\right)=\left(-2;7\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (7;2)

Phương trình đường trung tuyến CM là:

7(x-0)+2(y+2)=0

=>7x+2y+4=0

Tọa độ N là trung điểm của AC là:

\(\begin{cases}x_{N}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{-3+0}{2}=-\frac32\\ y_{N}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{2+\left(-2\right)}{2}=0\end{cases}\)

=>N(-1,5;0)

B(1;1); N(-1,5;0)

=>\(\overrightarrow{BN}=\left(-1,5-1;0-1\right)=\left(-2,5;-1\right)=\left(5;2\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (-2;5)

Phương trình đường trung tuyến BN là:

-2(x-1)+5(y-1)=0

=>-2x+2+5y-5=0

=>-2x+5y-3=0

Tọa độ trung điểm I của BC là:

\(\begin{cases}x_{I}=\frac{x_{B}+x_{C}}{2}=\frac{1+0}{2}=\frac12\\ y_{I}=\frac{y_{B}+y_{C}}{2}=\frac{1+\left(-2\right)}{2}=-\frac12\end{cases}\)

=>I(0,5;-0,5)

A(-3;2); I(0,5;-0,5)

=>\(\overrightarrow{AI}=\left(0,5+3;-0,5-2\right)=\left(3,5;-2,5\right)=\left(7;-5\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (5;7)

Phương trình đường trung tuyến AI là:

5(x+3)+7(y-2)=0

=>5x+15+7y-14=0

=>5x+7y+1=0

a) Đường cao kẻ từ A  của tam giác ABC là đường thẳng đi qua A và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5; - 1} \right)\) nên phương trình đường cao đó là:

\( - 5\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 2} \right) =  0 \Leftrightarrow -5x - y + 7 = 0\)

Hay   \(   5x + y - 7 = 0\)

b) Gọi M là trung điểm AC. Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = \frac{{1 + \left( { - 2} \right)}}{2} =  - \frac{1}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2} = \frac{{2 + \left( { - 1} \right)}}{2} = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

Trung tuyến BM đi qua điểm \(B\left( {3;0} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow {{u_{BM}}}  = 2\overrightarrow {BM}  = \left( { - 7;1} \right)\) là vectơ chỉ phương  nên phương trình tham số của BM là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 7t\\y = t\end{array} \right.\).

Do BC vuông góc đường cao AH kẻ từ A nên BC nhận (3;4) là 1 vtpt

Phương trình BC:

\(3\left(x+4\right)+4\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow3x+4y+12=0\)

C là giao điểm BC và trung tuyến kẻ từ C nên tọa độ C là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}4x+y+3=0\\3x+4y+12=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(0;-3\right)\)

Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow M\) thuộc trung tuyến kẻ từ C nên tọa độ M có dạng: \(M\left(m;-4m-3\right)\)

Áp dụng công thức trung điểm: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A=2x_M-x_B=2m+4\\y_A=2y_M-y_B=-8m-6\end{matrix}\right.\)

Do A thuộc -4x+3y+2=0 nên:

\(-4\left(2m+4\right)+3\left(-8m-6\right)+2=0\Rightarrow m=-1\) \(\Rightarrow A\left(2;2\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(-6;-2\right)\Rightarrow\) đường thẳng AB nhận (1;-3) là 1 vtpt

Phương trình AB:

\(1\left(x+4\right)-3\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow x-3y+4=0\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-2;-5\right)\Rightarrow\) đường thẳng AC nhận (5;-2) là 1 vtpt

Phương trình AC:

\(5\left(x-2\right)-2\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow5x-2y-6=0\)

b.

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left(-6;-2\right)\Rightarrow AB=\sqrt{\left(-6\right)^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt{10}\)

Gọi H là chân đường cao hạ từ C xuống AB

\(\Rightarrow CH=d\left(C;AB\right)=\dfrac{\left|0-\left(-3\right).3+4\right|}{\sqrt{1^2+\left(-3\right)^2}}=\dfrac{13\sqrt{10}}{10}\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}CH.AB=13\)

a: vecto BC=(1;-3)

=>VTPT là (3;1)

Phương trình BC là:

3(x-2)+y-2=0

=>3x-6+y-2=0

=>3x+y-8=0

b: Phương trình AH nhận vecto BC làm VTPT

=>Phương trình AH là:

1(x-1)+(-3)*(y-1)=0

=>x-1-3y+3=0

=>x-3y+2=0

c: Tọa độ M là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+3}{2}=2\\y=\dfrac{1-1}{2}=0\end{matrix}\right.\)

M(2;0); B(2;2)

vecto BM=(0;-2)

=>VTPT là (2;0)

Phương trình BM là:

2(x-2)+0(y-0)=0

=>2x-4=0

=>x=2

1.

Đường thẳng song song d nên nhận \(\left(2;3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình: \(2\left(x-1\right)+3\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x+3y-5=0\)

b.

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\left|\left(x_B-x_A\right)\left(y_C-y_A\right)-\left(x_C-x_A\right)\left(y_B-y_A\right)\right|\)

\(=\dfrac{1}{2}\left|-2.2-3.1\right|=\dfrac{7}{2}\)

c.

Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow M\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2}\right)\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(1;3\right)\)

Pt tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=1+3t\end{matrix}\right.\)

d. Phương trình:

\(2\left(x-1\right)+1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x+y-3=0\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x+3y-1}=X\\\frac{1}{2x-y+3}=Y\end{matrix}\right.\)

Hệ phương trình trở thành:

\(\left\{{}\begin{matrix}2X-Y=5\\X+2Y=5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4X-2Y=10\\X+2Y=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5X=15\\X+2Y=5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}X=3\\Y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x+3y-1}=3\\\frac{1}{2x-y+3}=1\end{matrix}\right.\) (nhân chéo) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3y-1=\frac{1}{3}\\2x-y+3=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3y=\frac{4}{3}\\2x-y=-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3y=\frac{4}{3}\\6x-3y=-6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3y=\frac{4}{3}\\7x=-\frac{14}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\frac{2}{3}\\y=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của hệ là \(\left(x;y\right)=\left(-\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)\)

pleas giải giúp mk với