Ta có: \(\widehat{ABH}+\widehat{BAC}=90^0\)(ΔAHB vuông tại H)

\(\widehat{ACK}+\widehat{BAC}=90^0\)(ΔAKC vuông tại K)

Do đó: \(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\)

=>\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

Xét (O) có

\(\widehat{ABD}\) là góc nội tiếp chắn cung AD

\(\widehat{ACE}\) là góc nội tiếp chắn cung AE

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

Do đó: \(sđ\stackrel\frown{AD}=sd\stackrel\frown{AE}\)

a) Xét tứ giác AKHF có 

\(\widehat{AKH}\) và \(\widehat{AFH}\) là hai góc đối

\(\widehat{AKH}+\widehat{AFH}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: AKHF là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Câu a thì như bạn Thịnh giải. Câu b bạn xem lại đề. $AF$ vốn dĩ cắt $(O)$ tại $A,F$ rồi thì làm sao cắt $(O)$ tại $J$ nữa?

a: Xét tứ giác BKHC có \(\hat{BKC}=\hat{BHC}=90^0\)

nên BKHC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\hat{ABE}\) là góc nội tiếp chắn cung AE
\(\hat{ACF}\) là góc nội tiếp chắn cung AF

\(\hat{ABE}=\hat{ACF}\left(=90^0-\hat{BAC}\right)\)

Do đó: sđcung AE=sđ cung AF

=>AE=AF
=>A nằm trên đường trung trực của EF(1)

OE=OF

=>O nằm trên đường trung trực của EF(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của EF

=>OA⊥EF

c: Gọi Ax là tiếp tuyến tại A của (O)

Xét (O) có

\(\hat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC

\(\hat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{xAC}=\hat{ABC}\)

mà \(\hat{ABC}=\hat{AHK}\left(=180^0-\hat{KHC}\right)\)

nên \(\hat{xAC}=\hat{AHK}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên HK//Ax

Ta có: HK//Ax

Ax⊥ AO

Do đó: HK⊥AO

mà EF⊥AO

nên HK//EF

a: Xét tứ giác BKHC có \(\hat{BKC}=\hat{BHC}=90^0\)

nên BKHC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\hat{ABE}\) là góc nội tiếp chắn cung AE
\(\hat{ACF}\) là góc nội tiếp chắn cung AF

\(\hat{ABE}=\hat{ACF}\left(=90^0-\hat{BAC}\right)\)

Do đó: sđcung AE=sđ cung AF

=>AE=AF
=>A nằm trên đường trung trực của EF(1)

OE=OF

=>O nằm trên đường trung trực của EF(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của EF

=>OA⊥EF

c: Gọi Ax là tiếp tuyến tại A của (O)

Xét (O) có

\(\hat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC

\(\hat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{xAC}=\hat{ABC}\)

mà \(\hat{ABC}=\hat{AHK}\left(=180^0-\hat{KHC}\right)\)

nên \(\hat{xAC}=\hat{AHK}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên HK//Ax

Ta có: HK//Ax

Ax⊥ AO

Do đó: HK⊥AO

mà EF⊥AO

nên HK//EF

a: Xét tứ giác AKHF có \(\hat{AKH}+\hat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AKHF là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\hat{CJB};\hat{CAB}\) là các góc nội tiếp chắn cung CB

Do đó: \(\hat{CJB}=\hat{CAB}\)

mà \(\hat{CAB}=\hat{CHE}\left(=90^0-\hat{ACH}\right)\)

nên \(\hat{CHJ}=\hat{CJH}\)

Xét (O) có

\(\hat{CBJ}\) là góc nội tiếp chắn cung CJ

\(\hat{CAI}\) là góc nội tiếp chắn cung CI

mà \(\hat{CBJ}=\hat{CAI}\left(=90^0-\hat{ACB}\right)\)

nên sđ cung CJ=sđ cung CI

c: Xét ΔAFB vuông tại F và ΔAKC vuông tại K có

\(\hat{FAB}\) chung

Do đó: ΔAFB~ΔAKC

=>\(\frac{AF}{AK}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(\frac{AF}{AB}=\frac{AK}{AC}\)

Xét ΔAFK và ΔABC có

\(\frac{AF}{AB}=\frac{AK}{AC}\)

góc FAK chung

Do đó: ΔAFK~ΔABC

d, từ C kẻ đường thẳng // với PM cắt AE,AB tại Q và K 

lấy H là trung điểm của BC

=>OH vuông góc với BC

H và E cùng nhìn OP dưới 1 góc 90 =>tứ giác OHEP nội tiếp =>góc MPH = góc OEH mà góc MPH = góc KCH (PM//CK) =>góc KCH= góc OEH =>tứ giác HQCE nội tiếp =>góc QHC = góc AEC mà góc AEC = góc ABC =>góc QHC=góc ABC =>QH//AB mà H là trung điểm BC

=>Q là trung điểm CK 

Áp dụng định lí TA-let ta được tam giác AMO đồng dạng tam giác AKQ =>MO/KQ=AO/AQ 

cmtt NO/CQ=AO/AQ mà CQ=KQ =>OM=ON

B1, a, Xét tứ giác AEHF có: góc AFH = 90^o  ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

                                             góc AEH = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

                                             Góc CAB = 90^o ( tam giác ABC vuông tại A)

=> tứ giác AEHF là hcn(đpcm)

b, do AEHF là hcn => cũng là tứ giác nội tiếp => góc AEF  = góc AHF ( hia góc nội tiếp cùng chắn cung AF)

mà góc AHF = góc ACB ( cùng phụ với góc FHC)

=> góc AEF = góc ACB => theo góc ngoài tứ giác thì tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp (đpcm)

c,gọi M là giao điểm của AI và EF

ta có:góc AEF = góc ACB (c.m.t) (1)

do tam giác ABC vuông tại A và có I là trung điểm của cạng huyền CB => CBI=IB=IA

hay tam giác IAB cân tại I => góc MAE = góc ABC (2)

mà góc ACB + góc ABC + góc BAC = 180^o (tổng 3 góc trong  một tam giác)

=>  ACB + góc ABC = 90^o (3)

từ (1) (2) và (3) => góc AEF + góc MAE = 90^o

=> góc AME = 90^o (theo tổng 3 góc trong một tam giác)

hay AI uông góc với EF (đpcm)

em moi lop 6 huhuhuhuhuhu

giúp em đi ạ

a: Xét (O) có

\(\hat{SAB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến SA và dây cung AB

\(\hat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB

Do đó: \(\hat{SAB}=\hat{ACB}\)

xét ΔSAB và ΔSCA có

\(\hat{SAB}=\hat{SCA}\)
góc ASB chung

Do đó: ΔSAB~ΔSCA

=>\(\frac{SA}{SC}=\frac{SB}{SA}\)

=>\(SA^2=SB\cdot SC\)

b: Xét (O) có

\(\hat{BAE}\) là góc nội tiếp chắn cung BE

\(\hat{CAE}\) là góc nội tiếp chắn cung CE

\(\hat{BAE}=\hat{CAE}\)

Do đó: sđ cung BE=sđ cung CE

Xét (O) có

\(\hat{SAE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến SA và dây cung AE

Do đó: \(\hat{SAE}\) =1/2*sđ cung AE

Xét (O) có

\(\hat{ADB}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung AB và CE

=>\(\hat{ADB}\) =1/2(sđ cung AB+sđ cung CE)

=1/2(sđ cung AB+sđ cung BE)

=1/2 sđ cung AE

\(=\hat{SAE}\)

Xét ΔSDA có \(\hat{SDA}=\hat{SAD}\)

nên ΔSAD cân tại S

=>SA=SD
c: Ta có: sđ cung EC=sđ cung EB

=>EC=EB

=>E nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của CB(2)

Từ (1),(2) suy ra OE là đường trung trực của BC

=>OE⊥BC