Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
3. Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ hình và thiết lập các hệ thúc tính TSLG của góc B từ đó suy ra các hệ thức tính TSLG góc C
Bài 2:
\(=\left(sin^2a+cos^2a\right)^3-3sin^2a\cdot cos^2a\left(sin^2a+cos^2a\right)+3sin^2a\cdot cos^2a\)
\(=1-3\cdot sin^2a\cdot cos^2a+3\cdot sin^2a\cdot cos^2a\)
=1
a) Ta có : sin\(^2\)12o=cos278o=> sin212o+sin278o=1.
tương tự => A=3
b) tương tự câu (a) ta có: cos215o=sin275o ( do 15+75=90 nha bạn ) => cos215o+cos275o=1. Tương tự => B=0
Bài 1:
Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông ABC ta có:
BC2=AC2+AB2
BC2=42+32
BC=\(\sqrt{25}\)=5(cm)
Ta có:
Sin B=\(\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{5}=0.8\)
Cos B=\(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{5}=0.6\)
Tag B=\(\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{4}{3}\)
Cotg B=\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}=0.75\)
a, Sử dụng tích chéo:
Ta có:
+/ \(\cos\alpha.\cos\alpha=\cos^2\alpha\) (1)
+/ \(\left(1+\sin\alpha\right)\left(1-\sin\alpha\right)=1-\sin^2\alpha\)
Mà \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)
\(\Rightarrow1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha\)
hay \(\left(1+\sin\alpha\right)\left(1-\sin\alpha\right)=\cos^2\alpha\) (2)
Từ (1), (2)
\(\Rightarrow\)\(\cos\alpha.\cos\alpha=\)\(\left(1+\sin\alpha\right)\left(1-\sin\alpha\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha}=\dfrac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}\) (đpcm)
b/ xem lại đề
Ta có:
\(sin=\dfrac{doi}{huyen}\); \(cos=\dfrac{ke}{chuyen}\);\(tan=\dfrac{doi}{ke}\); \(cot=\dfrac{ke}{doi}\)
Dùng cái này làm được hết mấy câu đó.
nếu bn thấy dùng cách của hùng có hới dài thì bn chỉ cần sử dụng cách đó cho 3 ý trên thôi . còn 3 ý dưới bn có thể sử dụng công thức \(sin^2x+cos^2x=1\) vừa chứng minh xong để giải quyết .
1: \(=\dfrac{cotx+1+tanx+1}{\left(tanx+1\right)\left(cotx+1\right)}\)
\(=\dfrac{\dfrac{1}{cotx}+cotx+2}{2+tanx+cotx}\)
\(=1\)
2: \(VT=\dfrac{cos^2x+cosxsinx+sin^2x-sinx\cdot cosx}{sin^2x-cos^2x}\)
\(=\dfrac{1}{sin^2x-cos^2x}\)
\(VP=\dfrac{1+cot^2x}{1-cot^2x}=\left(1+\dfrac{cos^2x}{sin^2x}\right):\left(1-\dfrac{cos^2x}{sin^2x}\right)\)
\(=\dfrac{1}{sin^2x}:\dfrac{sin^2x-cos^2x}{sin^2x}=\dfrac{1}{sin^2x-cos^2x}\)
=>VT=VP
a) \(\dfrac{1}{1+tan\alpha}+\dfrac{1}{1+cot\alpha}\)
\(=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{cot\alpha}}+\dfrac{1}{1+cot\alpha}\)
\(=\dfrac{1}{\dfrac{cot\alpha+1}{cot\alpha}}+\dfrac{1}{1+cot\alpha}\)
\(=\dfrac{cot\alpha}{cot\alpha+1}+\dfrac{1}{1+cot\alpha}\)
\(=\dfrac{cot\alpha+1}{cot\alpha+1}=1\) (đpcm)
b) \(tan^2x+cot^2x+2\)
\(=\dfrac{sin^2x}{cos^2x}+\dfrac{cos^2x}{sin^2x}+2\)
\(=\dfrac{sin^2x}{cos^2x}+1+\dfrac{cos^2x}{sin^2x}+1\)
\(=\dfrac{sin^2x+cos^2x}{cos^2x}+\dfrac{cos^2x+sin^2x}{sin^2x}\)
\(=\dfrac{1}{cos^2x}+\dfrac{1}{sin^2x}\) (đpcm)
c) \(sinx.cosx.\left(1+tanx\right)\left(1+cotx\right)\)
\(=\left(sinx.cosx+sinx.cosx.tanx\right)\left(1+cotx\right)\)
\(=\left(sinx.cosx+sinx.cosx.\dfrac{sinx}{cosx}\right)\left(1+cotx\right)\)
\(=\left(sinx.cosx+sin^2x\right)\left(1+cotx\right)\)
\(=\left(sinx.cosx+sin^2x\right)\left(1+\dfrac{cosx}{sinx}\right)\)
\(=sinx.cosx+cos^2x+sin^2x+sinx.cosx\)
\(=1+sin^2x.cos^2x\)
Câu cuối không biết chỗ sai, mong mọi người chỉ bảo ạ ^^
a) 1 + tan22 a =1 +(\(\dfrac{sina}{cosa}\))2 =\(\dfrac{sina+cosa}{cos^2a}\)=\(\dfrac{1}{cos^2a}\)
b) 1 + cot2 a= 1 +(\(\dfrac{cosa}{sina}\))2 = \(\dfrac{cosa+sina}{sin^2a}\)=\(\dfrac{1}{sin^2a}\)
c) tan2 a (2 sin2a + 3 cos2 a - 2)
=tan2 a[cos2 a +2 (\(sina^2+cos^2a\))-2 ]
=\(\dfrac{sin^2a}{cos^2a}\)×\(cos^2a=sin^2a\)
b: \(1+cot^2a=1+\left(\dfrac{cosa}{sina}\right)^2=\dfrac{1}{sin^2a}\)
c: \(=tan^2a\left[2\left(1-cos^2a\right)+3cos^2a-2\right]\)
\(=tan^2a\left[cos^2a\right]\)
\(=\dfrac{sin^2a}{cos^2a}\cdot cos^2a=sin^2a\)
Đặt \(f\left(A,B,C\right)=cosA+cosB+cosC+\dfrac{1}{sinA}+\dfrac{1}{sinB}+\dfrac{1}{sinC}-2\sqrt{3}-\dfrac{3}{2}\)
Ta có: \(f\left(A,B,C\right)-f\left(A,\dfrac{B+C}{2},\dfrac{B+C}{2}\right)\)
\(=\left(cosB+cosC-2cos\left(\dfrac{B+C}{2}\right)\right)+\left(\dfrac{1}{sinB}+\dfrac{1}{sinC}-\dfrac{2}{sin\left(\dfrac{B+C}{2}\right)}\right)\)
\(=2cos\left(\dfrac{B+C}{2}\right)\left(cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)-1\right)+\left(\dfrac{1}{sinB}+\dfrac{1}{sinC}-\dfrac{2}{sin\left(\dfrac{B+C}{2}\right)}\right)\left(1\right)\)
Bên cạnh đó ta có:
\(\dfrac{1}{sinB}+\dfrac{1}{sinC}-\dfrac{2}{sin\left(\dfrac{B+C}{2}\right)}\ge\dfrac{4}{sinB+sinC}-\dfrac{2}{sin\left(\dfrac{B+C}{2}\right)}=\dfrac{4\left(1-cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)\right)}{sinB+sinC}\)
Do đó \(\left(1\right)\ge2\left(1-cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)\right)\left(\dfrac{2}{sinB+sinC}-cos\left(\dfrac{B+C}{2}\right)\right)\)
\(=\left(1-cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)\right)\left(\dfrac{1-sin\left(\dfrac{B+C}{2}\right)cos\left(\dfrac{B+C}{2}\right)cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)}{sinB+sinC}\right)\ge0\)
\(\Rightarrow f\left(A,B,C\right)\ge f\left(A,\dfrac{B+C}{2},\dfrac{B+C}{2}\right)\)
Giờ ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức đúng trong trường hợp tam giác cân.
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}B=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{A}{2}\\cosB=cosC=\dfrac{sinA}{2}\\sinB=sinC=\dfrac{cosA}{2}\end{matrix}\right.\)
\(f\left(A,\dfrac{B+C}{2},\dfrac{B+C}{2}\right)=\left(cosA+2sin\left(\dfrac{A}{2}\right)-\dfrac{3}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{sinA}+\dfrac{2}{cos\left(\dfrac{A}{2}\right)}-2\sqrt{3}\right)\)
\(=\dfrac{-2\left(sin\left(\dfrac{A}{2}\right)-1\right)^2}{2}+\dfrac{1+4sin\left(\dfrac{A}{2}\right)-2\sqrt{3}sinA}{sinA}\)
Mà ta có: \(1\ge sin\left(\dfrac{A}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right)\)
\(\Rightarrow8sin\left(\dfrac{A}{2}\right)\ge2\sqrt{3}sinA+4sin^2\left(\dfrac{A}{2}\right)\)
\(\Rightarrow1+4sin\left(\dfrac{A}{2}\right)-2\sqrt{3}sinA\ge4sin^2\left(\dfrac{A}{2}\right)-4sin\left(\dfrac{A}{2}\right)+1=\left(2sin\left(\dfrac{A}{2}-1\right)\right)^2\)
Từ đó ta suy ra:
\(f\left(A,\dfrac{B+C}{2},\dfrac{B+C}{2}\right)\ge\left(2sin-1\right)^2\left(\dfrac{1}{sinA}-\dfrac{1}{2}\right)\ge0\)
Vậy bài toán đã được chứng minh. Dấu = xảy ra khi \(A=B=C=\dfrac{\pi}{3}\)
Hàm số \(f\left(x\right)=\cos\left(x\right)+\dfrac{1}{\sin\left(x\right)}\) là hàm lồi trên \(\left(0,\pi\right)\)
Do đó theo BĐT Jensen ( trường hợp của Karamata) có:
\(f\left(A\right)+f\left(B\right)+f\left(c\right)\ge3f\left(\dfrac{A+B+C}{3}\right)=3f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2\sqrt{3}+\dfrac{3}{2}\)
P/s:Tính độ "lầy" của hàm số:
\(f''(x)=-\cos(x)-\frac{1}{\sin(x)}+\frac{2}{(\sin(x))^3}\)
Và cho \(x\in (0,\pi);f''(x)>0\) nếu \(2>(\sin(x))^2(\sin(x)\cos(x)+1)\) là xài dc Jensen :D
có cần dài vậy ko (:|
Đang chờ cách ngắn hơn nè. Nếu you có cách ngắn hơn thì làm đi.
hiện tại là chưa nhưng đg cố :D
Ok. Cố lên nhá. Chớ t là t thấy cách của t là bất khả kháng mới dùng chứ thấy nó mệt lắm. Cũng như cái bài mà b nói sai đề của Thần Đồng ấy. Có thể dùng phương pháp dồn biến để giải được nhưng mà phức tạp phết nên chả muốn làm.
Ok. Cố lên nhá. Chớ t là t thấy cách của t là bất khả kháng mới dùng chứ thấy nó mệt lắm. Cũng như cái bài mà b nói sai đề của Thần Đồng ấy. Có thể dùng phương pháp dồn biến để giải được nhưng mà phức tạp phết nên chả muốn làm.
Chơi cái này luôn ah. Đạo hàm cấp 2.
Hung nguyen:chỉ cần hiểu nó đơn giản 1 tí thì \(f''''''''''''^{.........}\left('\rightarrow\infty\right)\) cũng chơi :D
T chơi cách cấp 2, you cấp 3 vậy là chắc là đủ rồi :D