xét tam giác ABD và tam giác ACE có:

góc A là góc chung

AB = AC ( tam giác cân tại A)

AD = AE(gt)

suy ra: tam giác ABD= tam giác ACE ( c-g-c)

vậy BD = CE ( 2 góc tương ứng)

A B C D E 1 2 1 2

Xét 2 tâm giác BEC và tam giác CDB có

BC ( chung )

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) ( theo giả thiết )

\(\widehat{B_2}=\widehat{C_1}\)( hai góc phân giác của 2 góc bằng nhau )

\(\Delta BEC=\Delta CDB\)(g.c.g )

\(\Rightarrow BD=EC\)

A A C C B B E E D D I I M M G G J J H H K K

a) Do tam giác ABC vuông cân nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\)

Xét tam giác vuông ABE và tam giác vuông ACD có:

AB = AC (gt)

\(\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\)

\(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta ACD\)  (Cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

\(\Rightarrow BE=CD;AE=AD\)

b) I là giao điểm của hai tia phân giác góc B và góc C của tam giác ABC nên AI cũng là phân giác góc A.

Do tam giác ABC cân tại A nên AI là phân giác đồng thời là đường cao và trung tuyến.

Vậy thì \(\widehat{AMC}=90^o;BM=MC=AM\)

Từ đó suy ra tam giác AMC vuông cân tại M.

c) Gọi giao điểm của DH, AK với BE lần lượt là J và G. 

Do DH và AK cùng vuông góc với BE nên ta có 

\(\Delta BDJ=\Delta BHJ;\Delta BAG=\Delta BKG\Rightarrow BD=BH;BA=BK\)

\(\Rightarrow HK=AD\)

Mà AD = AE nên HK = AE.    (1)

Do tam giác BAK cân tại B, có \(\widehat{B}=45^o\Rightarrow\widehat{BAK}=\frac{180^o-45^o}{2}=67,5^o\)

\(\Rightarrow\widehat{GAE}=90^o-67,5^o=22,5^o=\frac{\widehat{IAE}}{2}\)

Suy ra AG là phân giác góc IAE.

Từ đó ta có \(\widehat{KAC}=\widehat{ICA}\left(=22,5^o\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AKC=\Delta CIA\left(g-c-g\right)\Rightarrow KC=IA\)    

Lại có tam giác AIE có AG là phân giác đồng thời đường cao nên nó là tam giác cân, hay AI = AE. Suy ra KC = AE  (2)

Từ (1) và (2) suy ra HK = KC.

a: Xét ΔBAE và ΔBDE có

 BA=BD

góc ABE=góc DBE

BE chung

=>ΔBAE=ΔBDE

=>AE=DE

b: Xét ΔEAI vuông tại A và ΔEDC vuông tại D có

EA=ED

góc AEI=góc DEC

=>ΔEAI=ΔEDC

c: BI=BC

EI=EC

=>BE là trung trực của CI

=>BE vuông góc CI

a: Ta có; \(\hat{ABE}=\hat{CBE}=\frac12\cdot\hat{ABC}\) (BE là phân giác của góc ABC)

\(\hat{ACD}=\hat{DCB}=\frac12\cdot\hat{ACB}\) (CD là phân giác của góc ACB)

mà \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\)

nên \(\hat{ABE}=\hat{CBE}=\hat{ACD}=\hat{BCD}\)

Xét ΔABE và ΔACD có

\(\hat{ABE}=\hat{ACD}\)

AB=AC

\(\hat{BAE}\) chung

Do đó: ΔABE=ΔACD

=>BE=CD
b: Xét ΔOBC có \(\hat{OBC}=\hat{OCB}\)

nên ΔOBC cân tại O

=>OB=OC

OB+OE=BE

OC+OD=CD

mà BE=CD và OB=OC

nên OE=OD

c: Ta có: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra AO là đường trung trực của BC

=>AO⊥BC