a: AH=15cm

\(AB=5\sqrt{34}\left(cm\right)\)

a) Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:
AB² = AH² + HB² (ĐL Py-ta-go)
AB² = 15²  + 25²
AB² = 225 + 625
AB² = 850
AB  = \(\sqrt{850}\)(cm)

Xét tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH:
=> BA² = BH.BC
     850 = 25.BC
     BC  = 850:25
     BC  = 34

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:
BC² = AB² + AC²
34²  = 850 + AC²
1156 - 850 = AC²
AC² = 306
AC = \(\sqrt{306}\)(cm)

Ta có BC = BH + HC
         34 = 25 + HC
         HC = 34 - 25
         HC = 9

b) Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:
AB² = AH² + HB² (ĐL Py-ta-go)
12² = AH² + 6²
144 = AH² + 36
AH² = 144 - 36
AH² = 108
AH = \(\sqrt{108}\)(cm)

Xét tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH:
=> BA² = BH.BC
     12² = 6.BC
     144 = 6.BC
     BC = 144:6
     BC = 24 (cm)

Ta có BC = BH + HC
         24 = 6 + HC
         HC = 24 - 6
         HC = 18

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:
BC² = AB² + AC² (ĐL Py-ta-go)
24² = 12² + AC²
AC² = 24² - 12²
AC² = 576 - 144
AC² = 432
AC = \(\sqrt{432}\)(cm)

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>HC=6^2;4,5=36:4,5=8(cm)

BC=BH+CH=4,5+8=12,5(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BA^2=BH\cdot BC\)

=>\(BA^2=4,5\cdot12,5=56,25=7,5^2\)

=>BA=7,5(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=12,5^2-7,5^2=\left(12,5-7,5\right)\left(12,5+7,5\right)=5\cdot20=100=10^2\)

=>AC=10(cm)

b: ΔAHB vuông tại H

=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AH^2=6^2-3^2=36-9=27\)

=>\(AH=3\sqrt3\) (cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(HC=\frac{\left(3\sqrt3\right)^2}{3}=\frac{27}{3}=9\left(\operatorname{cm}\right)\)

BC=BH+CH=3+9=12(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(CA^2=CH\cdot CB=9\cdot12=36\cdot3\)

=>\(CA=6\sqrt3\) (cm)

\(a,\) Áp dụng HTL tam giác

\(\left\{{}\begin{matrix}AH^2=BH\cdot HC\\AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CH=\dfrac{AH^2}{BH}=\dfrac{36}{4,5}=8\left(cm\right)\\AB=\sqrt{4,5\left(4,5+8\right)}=\sqrt{4,5\cdot12,5}=7,5\left(cm\right)\\AC=\sqrt{8\cdot12,5}=10\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

và \(BC=12,5\left(cm\right)\)

\(b,\) Áp dụng HTL tam giác

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\\AH^2=CH\cdot BH\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BC=\dfrac{AB^2}{BH}=\dfrac{36}{3}=12\left(cm\right)\\CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{BC^2-AB^2}{12}=\dfrac{6\sqrt{3}}{12}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(cm\right)\\AH=3\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)