Cách 3: (Lớp 8) Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, dựng tam giác đều ACG.

A C B D G

Có ngay AB = AC = AG và ^BAG = ^BAC + ^CAG = 90⁰ => \(\Delta\)BAG vuông cân tại A

Suy ra ^CBG = ^ABC - ^ABG = 30⁰ = ^DAB      (1)

Cũng dễ thấy ^ADB = 135⁰; ^BCG = ^ACB + ^ACG = 135⁰ => ^BCG = ^ADB (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta\)CGB ~ \(\Delta\)DBA (g.g). Từ đây \(\frac{AD}{BC}=\frac{AB}{BG}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Vậy \(AD=\frac{BC}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)(cm).

B A C D E

Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng \(\Delta\)BCE vuông cân tại E

Khi đó ^EBA = ^ABC - ^EBC = 30⁰ = ^DAB

\(\Delta\)AEC = \(\Delta\)AEB (c.c.c) => ^EAB = ^BAC/2 = 15⁰ = ^DBA

Xét \(\Delta\)BEA và \(\Delta\)ADB có: AB chung, ^EAB = ^DBA, ^EBA = ^DAB

=> \(\Delta\)BEA = \(\Delta\)ADB (g.c.g) => AD = BE = \(\frac{BC}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)(cm).

Cách 2: Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B dựng \(\Delta\)ADF vuông cân tại D.

A B C D F

Có ^BDF = 360⁰ - 90⁰ - ^ADB = 135⁰ = ^BDA. Do đó \(\Delta\)DAB = \(\Delta\)DFB (c.g.c)

=> ^ABF = 2.^ABD = 30⁰ = ^BAC. Kết hợp với BF = AB = AC suy ra \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)ABC (c.g.c)

=> AF = BC hay \(AD\sqrt{2}=BC=2\). Vậy nên \(AD=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)(cm).

A B C D I F K

P/s: Mình chưa học sin nên mấy cái chỗ sin gì đó là mình bấm máy tính thôi nên ko chắc chắn về cả phần trình bày lẫn kết quả. 

Với cả phần vẽ đường phụ nữa.

Bài làm:

Trên BD lấy I sao cho ^BCI = 60^o . Có ngay \(\Delta\)BIC đều nên CI = BC = 2 cm

Gọi giao điểm của AI và BC là F. Có ngay AF là đường trung trực đồng thời là đường phân giác. Do đó FC = 1cm và ^FAC = 15^o

* Tính AC:

Ta có: \(\sin15^o=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\sin\widehat{FAC}=\frac{FC}{AC}=\frac{1}{AC}\)

Suy ra \(AC=\frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\sqrt{6}+\sqrt{2}\) (*)

Hạ IK vuông góc với DC. Dễ thấy ^IFK = 15^o. Do đó 

\(\sin15^o=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\sin\widehat{IFK}=\frac{IK}{IC}=\frac{IK}{2}\)

Suy ra \(IK=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)=> KC \(=\sqrt{2+\sqrt{3}}\) (1)

Dễ thấy ^KDI = 45^o . Ta có: \(\sin45^o=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{IK}{DI}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2DI}\)

Suy ra \(DI=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\). => DK =\(\sqrt{2-\sqrt{3}}\) (2)

Cộng theo vế (1) và (2) thu được: \(DC=\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\)

\(=\frac{\sqrt{3+2\sqrt{3}.1+1}+\sqrt{3-2\sqrt{3}.1+1}}{\sqrt{2}}\)

\(=\frac{\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}\)(**) 

Từ (*) và (**) ta có: \(AD=AC-DC=\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{6}=\sqrt{2}\)

P/s: Anh Đạt xem giúp em ạ!