Bài 1:

  B D A H C E

Vì CD và CE lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc C nên \(CD\perp CE\)

Kẻ \(CH\perp AB\)thì \(\widehat{CED}=\widehat{HCD}\)cùng phụ với \(\widehat{EDC}\)

Ta có : \(\widehat{HCA}=90^0-\widehat{HAC}=90^0-\left[180^0-\widehat{BAC}\right]=\widehat{BAC}-90^0\)

\(\widehat{ACD}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}=\frac{1}{2}\left[180^0-\widehat{ABC}-\widehat{BAC}\right]=90^0-\frac{1}{2}\left[\widehat{ABC}+\widehat{BAC}\right]\)

Do đó \(\widehat{HCD}=\widehat{HCA}+\widehat{ACD}=\frac{\widehat{BAC}-\widehat{ABC}}{2}\)nếu \(\widehat{BAC}>\widehat{ABC}\).

Nếu \(\widehat{BAC}< \widehat{ABC}\)thì \(\widehat{HCD}=\frac{\widehat{ABC}-\widehat{BAC}}{2}\)

Vậy \(\widehat{HCD}=\left|\frac{\widehat{BAC}-\widehat{ABC}}{2}\right|\).

2. Giả sử \(\widehat{B}>\widehat{C}\), ta có : \(\widehat{DAH}=\frac{\widehat{B}-\widehat{C}}{2}\)

Suy ra \(\widehat{B}-\widehat{C}=2\widehat{DAH}=2\cdot15^0=30^0\)

Mặt khác \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)từ đó suy ra \(\widehat{B}=60^0,\widehat{C}=30^0\)

Nếu \(\widehat{B}< \widehat{C}\)thì chứng minh tương tự,ta có \(\widehat{B}=30^0,\widehat{C}=60^0\)

P/S : Hình bài 1 chỉ mang tính chất minh họa nhé

Theo yêu cầu vẽ hình của bạn Hyouka :)

2. 

:  B A C H D TH: ^B > ^C        B A C H D TH: ^B < ^C

Cách giải thích tại sao \(\widehat{DAH}=\frac{\widehat{B}-\widehat{C}}{2}\)?

H B A C D

Trường hợp điểm H nằm giữa B và D \((\widehat{B}>\widehat{C})\)

Trong hai tam giác vuông AHB và AHC vuông ở H theo tính chất tổng các góc của một tam giác,ta có :

\(\widehat{B}+\widehat{BAH}+\widehat{H}=180^0\)=> \(\widehat{B}=90^0-\widehat{BAH}\)

\(\widehat{C}+\widehat{CAH}+\widehat{H}=180^0\)=> \(\widehat{C}=90^0-\widehat{CAH}\)

Vậy \(\widehat{B}-\widehat{C}=\widehat{CAH}-\widehat{HAB}(1)\)

Vì điểm H nằm giữa hai điểm B và D nên AD là tia phân giác của góc BAC nên \(\widehat{DAB}=\widehat{DAC}=\frac{\widehat{A}}{2}\)

, do đó \(\widehat{DAH}=\frac{\widehat{A}}{2}-\widehat{HAB}\). Lại có \(\widehat{DAH}=\widehat{HAC}-\widehat{DAC}=\widehat{HAC}-\frac{\widehat{A}}{2}\).

Từ đó suy ra \(2\widehat{DAH}=\widehat{HAC}-\widehat{HAB}\)hay \(\widehat{DAH}=\frac{\widehat{HAC}-\widehat{HAB}}{2}\)    \((2)\)

Từ 1 và 2 suy ra \(\widehat{DAH}=\frac{\widehat{B}-\widehat{C}}{2}\) 

1) Các em tham khảo thêm 1 cách nhé!

Không mất tính tổng quát : g/s: AC>AB. Ta có hình vẽ bên dưới

A C D B E 1 2 3 4

 CD là phân giác trong góc ^C => \(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\)

CE là phân giác ngoài ^C => \(\widehat{C_3}=\widehat{C_4}\)

Mà \(\widehat{C_1}+\widehat{C_2}+\widehat{C_3}+\widehat{C_4}=180^o\)

=> \(2.\widehat{C_2}+2.\widehat{C_3}=180^o\)=> \(\widehat{C_2}+\widehat{C_3}=90^o\)=> \(\widehat{DCE}=90^o\)

Xét \(\Delta\)DCE vuông tại C => \(\widehat{CED}=90^o-\widehat{CDE}\)

Áp dụng tính chất góc ngoài của \(\Delta\)ACD,  ta có: 

\(\widehat{CDE}=\widehat{CAD}+\widehat{C_1}=\widehat{A}+\frac{1}{2}\widehat{ACB}=\widehat{A}+\frac{1}{2}\left(180^o-\widehat{A}-\widehat{B}\right)=90^o+\frac{1}{2}\widehat{A}-\frac{1}{2}\widehat{B}\)

=> \(\widehat{CED}=90^o-\left(90^o+\frac{1}{2}\widehat{A}-\frac{1}{2}\widehat{B}\right)=\frac{1}{2}\widehat{B}-\frac{1}{2}\widehat{A}\)

Ngược lại trường hợp AC<AB

=> \(\widehat{CED}=\frac{1}{2}\widehat{A}-\frac{1}{2}\widehat{B}\)

Vậy \(\widehat{CED}=\left|\frac{1}{2}\widehat{A}-\frac{1}{2}\widehat{B}\right|=\left|\frac{\widehat{A}-\widehat{B}}{2}\right|\)