1) bạn dùng dấu U 

điều kiện \(\begin{cases}m\ne0,m>-\frac{1}{4}\\m< 1\end{cases}\)

muons dễ nhìn thì vẽ trục số:  0 -1/4 1 x

=> điều kiện x \(\in\left(-\frac{1}{4};1\right)\backslash\left\{0\right\}\)

Câu 1:

Để ý rằng \((2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1\) nên nếu đặt

\(\sqrt{2+\sqrt{3}}=a\Rightarrow \sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{1}{a}\)

PT đã cho tương đương với:

\(ma^x+\frac{1}{a^x}=4\)

\(\Leftrightarrow ma^{2x}-4a^x+1=0\) (*)

Để pt có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thì pt trên phải có dạng pt bậc 2, tức m khác 0

\(\Delta'=4-m>0\Leftrightarrow m< 4\)

Áp dụng hệ thức Viete, với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của pt (*)

\(\left\{\begin{matrix} a^{x_1}+a^{x_2}=\frac{4}{m}\\ a^{x_1}.a^{x_2}=\frac{1}{m}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{x_2}(a^{x_1-x_2}+1)=\frac{4}{m}\\ a^{x_1+x_2}=\frac{1}{m}(1)\end{matrix}\right.\)

Thay \(x_1-x_2=\log_{2+\sqrt{3}}3=\log_{a^2}3\) :

\(\Rightarrow a^{x_2}(a^{\log_{a^2}3}+1)=\frac{4}{m}\)

\(\Leftrightarrow a^{x_2}(\sqrt{3}+1)=\frac{4}{m}\Rightarrow a^{x_2}=\frac{4}{m(\sqrt{3}+1)}\) (2)

\(a^{x_1}=a^{\log_{a^2}3+x_2}=a^{x_2}.a^{\log_{a^2}3}=a^{x_2}.\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow a^{x_1}=\frac{4\sqrt{3}}{m(\sqrt{3}+1)}\) (3)

Từ \((1),(2),(3)\Rightarrow \frac{4}{m(\sqrt{3}+1)}.\frac{4\sqrt{3}}{m(\sqrt{3}+1)}=\frac{1}{m}\)

\(\Leftrightarrow \frac{16\sqrt{3}}{m^2(\sqrt{3}+1)^2}=\frac{1}{m}\)

\(\Leftrightarrow m=\frac{16\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+1)^2}=-24+16\sqrt{3}\) (thỏa mãn)

Câu 2:

Nếu \(1> x>0\)

\(2017^{x^3}>2017^0\Leftrightarrow 2017^{x^3}>1\)

\(0< x< 1\Rightarrow \frac{1}{x^5}>1\)

\(\Rightarrow 2017^{\frac{1}{x^5}}> 2017^1\Leftrightarrow 2017^{\frac{1}{x^5}}>2017\)

\(\Rightarrow 2017^{x^3}+2017^{\frac{1}{x^5}}> 1+2017=2018\) (đpcm)

Nếu \(x>1\)

\(2017^{x^3}> 2017^{1}\Leftrightarrow 2017^{x^3}>2017 \)

\(\frac{1}{x^5}>0\Rightarrow 2017^{\frac{1}{x^5}}>2017^0\Leftrightarrow 2017^{\frac{1}{5}}>1\)

\(\Rightarrow 2017^{x^3}+2017^{\frac{1}{x^5}}>2018\) (đpcm)

câu 1 sao không ra đáp án nào vậy bạn , hình như bạn làm sai đâu đó rồi

Trời, đọc xong chỉ việc chọn đáp án mà ko biết chọn luôn?

Đáp án D chứ sao nữa

Câu 2:

$y'=-3x^2+6x+(m-2)=0$

Để hàm số có 2 điểm cực trị $x_1,x_2$ đồng nghĩa với PT $-3x^2+6x+(m-2)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$
$\Leftrightarrow \Delta'=9+3(m-2)>0\Leftrightarrow m>-1(1)$

Hai điểm cực trị cùng dương khi:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2>0\\ x_1x_2=\frac{m-2}{-3}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< 2(2)\)

Từ $(1);(2)\Rightarrow -1< m< 2$

Đáp án C.

Câu 2:

Để đths có 2 điểm cực trị thì trước tiên:

$y'=x^2-2mx+m^2-4=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

Điều này xảy ra khi $\Delta'=m^2-(m^2-4)>0\Leftrightarrow m\in\mathbb{R}$

Để 2 điểm cực trị của đồ thị $y$ nằm về hai phía của trục tung thì: $x_1x_2< 0$

$\Leftrightarrow m^2-4< 0$

$\Leftrightarrow -2< m< 2$

Đáp án A.

Đáp án A

Ghi nhớ: Nếu hàm số

liên tục trên đoạn và thì phương trình

có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng .

Gọi \(s = sin ⁡ x , \textrm{ }\textrm{ } c = cos ⁡ x\). Vì \(x \in \left[\right. 0 , \pi / 4 \left]\right.\) nên \(c > 0\). Chia cả phương trình cho \(cos ⁡ x\) được (không làm mất nghiệm vì \(cos ⁡ x \neq 0\) trên đoạn này). Đặt \(t = tan ⁡ x = \frac{s}{c} \in \left[\right. 0 , 1 \left]\right.\). Sau khi biến đổi ta được:

tương đương (sau tính toán và đưa về \(t\)):

Vậy nghiệm ứng với \(t\) là:

hoặc \(t\) là nghiệm của đa thức bậc hai

Ta cần số nghiệm \(t \in \left[\right. 0 , 1 \left]\right.\). Lưu ý \(t = 1\) luôn là một nghiệm (tương ứng \(x = \pi / 4\)). Để phương trình chỉ có một nghiệm trên \(\left[\right. 0 , \pi / 4 \left]\right.\) tức là không có nghiệm \(t\) nào khác nằm trong \(\left[\right. 0 , 1 \left.\right)\). Do đó phải đảm bảo rằng phương trình \(q \left(\right. t \left.\right) = 0\) không có nghiệm trong đoạn \(\left[\right. 0 , 1 \left.\right)\).

Phân tích \(q \left(\right. t \left.\right)\):

• Đặt \(D_{q} = 4 \left(\right. \left(\right. m - 1 \left.\right) \left(\right. m - 3 \left.\right) \left.\right)\). Nếu \(1 < m < 3\) thì \(D_{q} < 0\) → \(q\) không có nghiệm thực → không có nghiệm trong \(\left[\right. 0 , 1 \left.\right)\) → duy nhất \(t = 1\).
• Nếu \(m \geq 3\) thì hai nghiệm của \(q\) là \(m \pm \sqrt{\left(\right. m - 1 \left.\right) \left(\right. m - 3 \left.\right)}\); cả hai đều \(> 1\) (không rơi vào \(\left[\right. 0 , 1 \left.\right)\)) → chỉ \(t = 1\).
• Nếu \(m \leq 1\) thì \(q\) có nghiệm thực; xét riêng:
• • Nếu \(m < \frac{3}{4}\) thì một nghiệm của \(q\) âm và nghiệm kia \(> 1\) → không có nghiệm trong \(\left[\right. 0 , 1 \left.\right)\) → chỉ \(t = 1\).
  • Nếu \(m = \frac{3}{4}\) thì \(q \left(\right. 0 \left.\right) = 0\) (tức \(t = 0\) là nghiệm) → hai nghiệm trong \(\left[\right. 0 , \frac{\pi}{4} \left]\right.\): \(t = 0\) và \(t = 1\) → không thỏa yêu cầu “duy nhất”.
  • Nếu \(\frac{3}{4} < m < 1\) thì \(q\) có đúng một nghiệm nằm trong \(\left(\right. 0 , 1 \left.\right)\) → cộng với \(t = 1\) ta có ít nhất hai nghiệm → không thỏa.
  • Nếu \(m = 1\) thì \(q \left(\right. t \left.\right) = \left(\right. t - 1 \left.\right)^{2}\) và duy nhất nghiệm trong đoạn là \(t = 1\) (bội) → vẫn một nghiệm.

Kết luận: phương trình có đúng một nghiệm \(x \in \left[\right. 0 , \pi / 4 \left]\right.\) khi và chỉ khi

(Nói ngắn: tất cả \(m\) ngoại trừ đoạn \(\left[\right. \frac{3}{4} , 1 \left.\right)\); điểm \(m = \frac{3}{4}\) bị loại vì lúc đó có thêm nghiệm \(x = 0\).)

Ta có x³ - 3x² + 1 - m = 0   (1)  là phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị hàm số  y = x³-3x²+1 và y = m  (là đường thẳng song song hoặc trùng với Ox).

Xét y = x³-3x²+1 .

Tính y’ = 3x²- 6x

Ta có

y ' = 0 ⇔ 3 x 2 - 6 x = 0 ⇔

Ta có x = 1 thì y = -1

Số nghiệm của phương trình  chính là số giao điểm của đồ thị y = x³-3x²+1 và đường thẳng y = m .

Do đó, yêu cầu bài toán khi và chỉ khi -3 < m < -1

Chọn C.