Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
$p>3$ và $p$ nguyên tố nên $p$ lẻ
$\Rightarrow p+1$ chẵn $\Rightarrow p+1\vdots 2(1)$
Mặt khác:
$p>3$ và $p$ nguyên tố nên $p$ không chia hết cho $3$
$\Rightarrow p=3k+1$ hoặc $p=3k+2$ với $k$ tự nhiên.
Nếu $p=3k+1$ thì $2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)\vdots 3$. Mà $2p+1>3$ nên không thể là số nguyên tố (trái đề bài)
$\Rightarrow p=3k+2$
Khi đó:
$p+1=3k+3\vdots 3(2)$
Từ $(1); (2)$, mà $(2,3)=1$ nên $p+1\vdots (2.3)$ hay $p+1\vdots 6$
Vì p và q nguyên tố > 3 nên p và q đều lẻ => p^2 và q^2 đều chia 8 dư 1 => p^2 - q^2 chia hết cho 8 (1)
Lại có p và q nguyên tố > 3 nên p và q đều ko chia hết cho 3 => p^2 và q^2 đều chia 3 dư 1 => p^2 - q^2 chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) => p^2 - q^2 chia hết cho 24 ( vì 3 và 8 nguyên tố cùng nhau )
p và q là các số nguyên tố lớn hơn 3
=>p và q đều là các số lẻ và đều không chia hết cho 3
TH1: p=3a+1; q=3b+1
\(p^2-q^2=\left(3a+1\right)^2-\left(3b+1\right)^2\)
\(=\left(3a+1-3b-1\right)\left(3a+1+3b+1\right)=\left(3a-3b\right)\left(3a+3b+1\right)=3\left(a-b\right)\left(3a+3b+1\right)\) ⋮3(2)
TH2: p=3a+1; q=3b+2
\(p^2-q^2=\left(3a+1\right)^2-\left(3b+2\right)^2\)
=(3a+1+3b+2)(3a+1-3b-2)
=(3a+3b+3)(3a-3b-1)
=3(a+b+1)(3a-3b-1)⋮3(1)
TH3: p=3a+2; q=3b+1
\(p^2-q^2=\left(3a+2\right)^2-\left(3b+1\right)^2\)
=(3a+2-3b-1)(3a+2+3b+1)
=(3a+3b+3)(3a-3b+1)
=3(a+b+1)(3a-3b+1)⋮3(3)
TH4: p=3a+2; q=3b+2
\(p^2-q^2=\left(3a+2\right)^2-\left(3b+2\right)^2\)
=(3a+2-3b-2)(3a+2+3b+2)
=(3a-3b)(3a+3b+4)
=3(a-b)(3a+3b+4)⋮3(4)
Từ (1),(2),(3),(4) suy ra \(p^2-q^2\) ⋮3
p,q là các số lẻ
=>p=2a+1; q=2b+1
\(p^2=\left(2a+1\right)^2=4a^2+4a+1=4a\left(a+1\right)+1\)
\(q^2=\left(2b+1\right)^2=4b^2+4b+1=4b\left(b+1\right)+1\)
Vì a;a+1 là hai số tự nhiên liên tiếp
nên a(a+1)⋮2
=>4a(a+1)⋮8
Vì b;b+1 là hai số tự nhiên liên tiếp
nên b(b+1)⋮2
=>4b(b+1)⋮8
\(p^2-q^2=\left(2a+1\right)^2-\left(2b+1\right)^2\)
=4a(a+1)-4b(b+1)
mà 4a(a+1)⋮8 và 4b(b+1)⋮8
nên \(p^2-q^2\) ⋮8
mà \(p^2-q^2\) ⋮3
và ƯCLN(3;8)=1
nên \(p^2-q^2\) ⋮3*8
=>\(p^2-q^2\) ⋮24
mà 48⋮24
nên \(p^2-q^2-48\) ⋮24
Vì p lak số nguyên tố và p> 3 nên p sẽ có dạng 3k+1 và 3k+2
TH1: Nếu p=3k+1 thì p+1 = p+ 2= 3k+1+2=3k+3 chai hêt cho 3
.........................................................................→ là hợp số ( loai)
Th2: Nếu p=3k+2 thì P+1 = 3k+2+1= 3k + 3 chia hết cho 3 (1)
Vì p là số nguyên tố và p > 3 nên p là số lẻ
→ p+1 là số chẵn → p+1 chia hết cho 2 (2)
Mà (2;3)=1 nên p+1 chia hết cho ( 2.3) hay p+1 chia hết cho6
Số nguyên tố lớn hơn 3 sẽ có dạng 3k+1 hay 3k+2 ( k ϵ N)
Nếu p = 3k+1 thì p+2= 3k+1+2= 3k+3= 3.(k+1) là số nguyên tố. Vì 3.(k+1) chia hết cho 3 nên dạng p = 3k+1 không thoả mãn.
Vậy p có dạng p = 3k+2 ( Vì p+2= 3k+2+2= 3k+4 là một số nguyên tố)
Suy ra p+1= 3k+2+1= 3k+3= 3.(k+1) chia hết cho 3
Mặt khác, do p là số nguyên tố lớn hơn 3 cũng như lớn hơn 2 nên p là số nguyên tố lẻ suy ra p+1 là số chẵn suy ra p+1 là số chia hết cho 2
Vì p chia hết cho 2 và 3 mà UWCLN(2;3)=1 nên p+1 chia hết cho 6
Mong bạn tick cho mk nha!
thank
thank
hjhj