Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: p4 – q4 = (p4 – 1 ) – (q4 – 1) ; 240 = 8 .2.3.5
Chứng minh p4 – 1 240
- Do p >5 nên p là số lẻ
+ Mặt khác: p4 –1 = (p –1) (p + 1) (p2 +1)
--> (p-1 và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp => (p – 1) (p+1) 8
+ Do p là số lẻ nên p2 là số lẻ -> p2 +1 2
- p > 5 nên p có dạng:
+ p = 3k +1 --> p – 1 = 3k + 1 – 1 = 3k 3 --> p4 – 1 3
+ p = 3k + 2 --> p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k +3 3 --> p4 – 1 3
- Mặt khác, p có thể là dạng:
+ P = 5k +1 --> p – 1 = 5k + 1 – 1 = 5k 5 --> p4 – 1 5
+ p = 5 k+ 2 --> p2 + 1 = (5k +2)2 +1 = 25k2 + 20k +5 5 --> p4 – 1 5
+ p = 5k +3 --> p2 +1 = 25k2 + 30k +10 --> p4 –1 5
+ p = 5k +4 --> p + 1 = 5k +5 5 --> p4 – 1 5
Vậy p4 – 1 8 . 2. 3 . 5 hay p4 – 1 240
Tương tự ta cũng có q4 – 1 240
Vậy: (p4 – 1) – (q4 –1) = p4 – q4 240
mk nha các bạn !!!
.p4−q4=p4−q4−1+1=(p4−1)−(q4−1)
lại có 240=8.2.3.5
ta cần chứng minh (p4−1) ⋮ 240 và (q4−1) ⋮ 240
C/m: (p4−1) ⋮ 240:
(p4−1)=(p−1)(p+1)(p2+1)
vì p là số nguyến tố lớn hơn 5 nên p là số lẻ
⟹(p−1)(p+1) là tích của 2 số lẻ liên tiếp nên chia hết cho 8 (1)
Do p>5 nên:
p=3k+1→p−1=3k→p−1 ⋮ 3
hoặc p=3k+2→p+1=3(k+1)→p+1 ⋮ 3 (2)
mặt khác vì p là số lẻ nên p2 là số lẻ →p2+1 là số chẵn nên p2+1 ⋮ 2 (3)
giờ cần chứng minh p4−1 ⋮ 5:
p có thể có dạng:
p=5k+1→p−1 ⋮ 5
p=5k+2→p2+1=25k2+20k+5→p2+1 ⋮ 5
p=5k+3→p2+1=25k2+30k+10→p2+1 ⋮ 5
p=5k+4→p+1=5k+5→p+1 ⋮ 5
p=5k mà p là số nguyến tố nên k=1→p=5 (ko thỏa mãn ĐK)
⟹p4−1 ⋮ 5 (4)
từ (1),(2),(3),(4), suy ra p4−1 chia hết cho 2.3.5.8 hay p4−1 ⋮ 240
chứng minh tương tự, ta có: q4−1 ⋮ 240
Kết luận.......................
P là số nguyên tố và p>3 => p+5, p+7 là sô chẵn đặt p+5=2k=> p+7=2k+2=>(p+5)(p+7)= 2k(2k+2)= 2k2(k+1)= 4k(k+1) chia hết cho 8
( vì k(k+1) chia hết cho 2 với mọi k thuộc n)
P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3n+1 hoặc 3n+2
. Xét P= 3n+1=> (p+5)(p+7)= (3n+6)(3n+8) chia hết cho 3 với mọi n thuộc N
. xét p=3n+2=> (p+5)(p+7)= (3n+7)(3n+9) chia hét cho 3 với mọi n thuộc N
(p+5)(p+7) chia hết cho 8 và 3=> (p+5)(p+7) chia hết cho 24
cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.chứng minh (p+5)(p+7) chia hết cho 24
các bạn giải hộ mình vs
Gọi b là số tự nhiên đó.
Vì b chia cho 7 dư 5,chia cho 13 dư 4
=>b+9 chia hết cho 7
b+9 chia hết cho 13
=>b+9 chia hết cho 7.13=91
=>b chi cho 91 dư 91-9=82
=>điều phải chứng minh
Vì p ko phải 3 và 2 nên p ko chia hết cho 3 và 2
=>p có 2 dạng là: 6k+1 và 6k+5
TH1: p=6k+5
Khi đó: p+4=6k+9, rõ ràng chia hết cho 3 vì 9 và 6 đều chia hết cho 3.
TH2: P=6k+1
khi đó: p+4=6k+5, như đã nói ở trên thì p có dạng này hoàn toàn hợp lý.
=>p=6k+1
Khi đó: p+5=6k+6=6.(k+1) chia hết cho 6 (ĐPCM)
p;q là các số nguyên tố lớn hơn5
=>p,q là các số lẻ và p,q đều không chia hết cho 3
p là số lẻ nên p=2a+1
\(p^4-1=\left(p^2-1\right)\left(p^2+1\right)\)
=(p-1)(p+1)\(\left(p^2+1\right)\)
\(=\left(2a+1-1\right)\left(2a+1+1\right)\left\lbrack\left(2a+1\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=2a\left(2a+2\right)\left(4a^2+4a+1+1\right)=2a\cdot2\cdot\left(a+1\right)\cdot2\cdot\left(2a^2+2a+1\right)\)
\(=8a\left(a+1\right)\left(2a^2+2a+1\right)\) ⋮8
p không chia hết cho 3 nên p=3k+1 hoặc p=3k+2
TH1: p=3k+1
\(p^4-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\)
\(=\left(3k+1-1\right)\left(3k+1+1\right)\left\lbrack\left(3k+1\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=3k\left(3k+2\right)\left(9k^2+6k+1+1\right)=3k\left(3k+2\right)\left(9k^2+6k+2\right)\) ⋮3(2)
TH2: p=3k+2
\(p^4-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\)
\(=\left(3k+2-1\right)\left(3k+2+1\right)\left\lbrack\left(3k+2\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=\left(3k+1\right)\left(3k+3\right)\left(9k^2+12k+4+1\right)=3\left(k+1\right)\left(3k+1\right)\left(9k^2+12k+5\right)\) ⋮3(1)
Từ (1),(2) suy ra \(p^4-1\) ⋮3
p là số nguyên tố lớn hơn 5
=>p không chia hết cho 5
=>p∈{5k+1;5k+2;5k+3;5k+4}
TH1: p=5k+1
\(p^4-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\)
\(=\left(5k+1-1\right)\left(5k+1+1\right)\left\lbrack\left(5k+1\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=5k\left(5k+2\right)\left(25k^2+10k+1+1\right)\)
\(=5k\left(5k+2\right)\left(25k^2+10k+2\right)\) ⋮5(3)
TH2: p=5k+2
\(p^4-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\)
\(=\left(5k+2-1\right)\left(5k+2+1\right)\left\lbrack\left(5k+2\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=\left(5k+1\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+20k+4+1\right)\)
\(=\left(5k+1\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+20k+5\right)\)
\(=5\left(5k^2+4k+1\right)\left(5k+1\right)\left(5k+3\right)\) ⋮5(4)
TH3: p=5k+3
\(p^4-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\)
\(=\left(5k+3-1\right)\left(5k+3+1\right)\left\lbrack\left(5k+3\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=\left(5k+2\right)\left(5k+4\right)\left(25k^2+30k+9+1\right)\)
\(=\left(5k+2\right)\left(5k+4\right)\left(25k^2+30k+10\right)\)
\(=5\left(5k^2+6k+2\right)\left(5k+2\right)\left(5k+4\right)\) ⋮5(5)
TH4: p=5k+4
\(p^4-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\)
\(=\left(5k+4-1\right)\left(5k+4+1\right)\left\lbrack\left(5k+4\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=\left(5k+3\right)\left(5k+5\right)\left(25k^2+40k+16+1\right)\)
\(=5\left(k+1\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+40k+17\right)\) ⋮5(6)
Từ (3),(4),(5),(6) suy ra \(p^4-1\) ⋮5
mà \(p^4-1\) ⋮3 và \(p^4-1\) ⋮8; \(p^4-1\) ⋮2
và ƯCLN(3;5;8;2)=1
nên \(p^4-1\) ⋮3*5*8*2
=>\(p^4-1\) ⋮240(7)
q là số lẻ nên q=2b+1
\(q^4-1=\left(q^2-1\right)\left(q^2+1\right)\)
=(q-1)(q+1)\(\left(q^2+1\right)\)
\(=\left(2b+1-1\right)\left(2b+1+1\right)\left\lbrack\left(2b+1\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=2b\left(2b+2\right)\left(4b^2+4b+1+1\right)=2b\cdot2\cdot\left(b+1\right)\cdot2\cdot\left(2b^2+2b+1\right)\)
\(=8b\left(b+1\right)\left(2b^2+2b+1\right)\) ⋮8
q không chia hết cho 3 nên p=3k+1 hoặc p=3k+2
TH1: q=3k+1
\(q^4-1=\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)
\(=\left(3k+1-1\right)\left(3k+1+1\right)\left\lbrack\left(3k+1\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=3k\left(3k+2\right)\left(9k^2+6k+1+1\right)=3k\left(3k+2\right)\left(9k^2+6k+2\right)\) ⋮3(8)
TH2: q=3k+2
\(q^4-1=\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)
\(=\left(3k+2-1\right)\left(3k+2+1\right)\left\lbrack\left(3k+2\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=\left(3k+1\right)\left(3k+3\right)\left(9k^2+12k+4+1\right)=3\left(k+1\right)\left(3k+1\right)\left(9k^2+12k+5\right)\) ⋮3(9)
Từ (8),(9) suy ra \(q^4-1\) ⋮3
q là số nguyên tố lớn hơn 5
=>q không chia hết cho 5
=>q∈{5k+1;5k+2;5k+3;5k+4}
TH1: q=5k+1
\(q^4-1=\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)
\(=\left(5k+1-1\right)\left(5k+1+1\right)\left\lbrack\left(5k+1\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=5k\left(5k+2\right)\left(25k^2+10k+1+1\right)\)
\(=5k\left(5k+2\right)\left(25k^2+10k+2\right)\) ⋮5(10)
TH2: q=5k+2
\(q^4-1=\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)
\(=\left(5k+2-1\right)\left(5k+2+1\right)\left\lbrack\left(5k+2\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=\left(5k+1\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+20k+4+1\right)\)
\(=\left(5k+1\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+20k+5\right)\)
\(=5\left(5k^2+4k+1\right)\left(5k+1\right)\left(5k+3\right)\) ⋮5(11)
TH3: q=5k+3
\(q^4-1=\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)
\(=\left(5k+3-1\right)\left(5k+3+1\right)\left\lbrack\left(5k+3\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=\left(5k+2\right)\left(5k+4\right)\left(25k^2+30k+9+1\right)\)
\(=\left(5k+2\right)\left(5k+4\right)\left(25k^2+30k+10\right)\)
\(=5\left(5k^2+6k+2\right)\left(5k+2\right)\left(5k+4\right)\) ⋮5(12)
TH4: q=5k+4
\(q^4-1=\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)
\(=\left(5k+4-1\right)\left(5k+4+1\right)\left\lbrack\left(5k+4\right)^2+1\right\rbrack\)
\(=\left(5k+3\right)\left(5k+5\right)\left(25k^2+40k+16+1\right)\)
\(=5\left(k+1\right)\left(5k+3\right)\left(25k^2+40k+17\right)\) ⋮5(13)
Từ (10),(11),(12),(13) suy ra \(q^4-1\) ⋮5
mà \(q^4-1\) ⋮3 và \(q^4-1\) ⋮8; \(q^4-1\) ⋮2
và ƯCLN(3;5;8;2)=1
nên \(q^4-1\) ⋮3*5*8*2
=>\(q^4-1\) ⋮240(14)
Từ (7),(14) suy ra \(p^4-1-\left(q^4-1\right)\) ⋮240
=>\(p^4-q^4\) ⋮240
giúp mình với mình cần gấp