a: C là điểm chính giữa của cung AB

=>sđ cung CA=sđ cung CB

=>\(\hat{COA}=\hat{COB}=90^0\)

Xét ΔOCD có OC=OD=CD(=R)

nên ΔOCD đều

=>\(\hat{COD}=60^0\)

D nằm trên cung nhỏ BC

=>tia OD nằm giữa hai tia OB và OC

=>\(\hat{BOD}+\hat{COD}=\hat{BOC}\)

=>\(\hat{BOD}=90^0-60^0=30^0\)

b: D nằm trên cung CA

=>tia OC nằm giữa hai tia OD và OB

=>\(\hat{BOD}=\hat{BOC}+\hat{COD}=90^0+60^0=150^0\)

Xét ΔOCD có OC=OD=CD(=R)

nên ΔOCD đều

=>\(\hat{COD}=60^0\)

Ta có: \(\hat{COD}+\hat{DOB}=\hat{COB}\) (tia OD nằm giữa hai tia OC và OB)

=>\(\hat{DOB}=90^0-60^0=30^0\)

Có hai đáp số tương ứng với hai vị trí của điểm D

*Trường hợp D nằm giữa C và B

VÌ C nằm chính giữa A và B nên :

Trường hợp 1: D nằm giữa A và C

=>\(\widehat{AOD}=90^0-60^0=30^0\)

=>\(\widehat{DOB}=150^0\)

Trường hợp 2: D nằm giữa B và C

ΔOCD cân tại O có CD=OC

nên ΔOCD đều

=>\(\widehat{COD}=60^0\)

hay \(\widehat{BOD}=30^0\)

Do \(OC=OD=CD=R\Rightarrow\Delta OCD\) là tam giác đều

\(\Rightarrow\widehat{COD}=60^0\)

Mà \(\widehat{CAD}=\dfrac{1}{2}\widehat{COD}\) (góc nt và góc ở tâm cùng chắn CD)

\(\Rightarrow\widehat{CAD}=30^0\)

AB là đường kính nên \(\widehat{ADB}\) là góc nt chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow\widehat{ADB}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{ADP}=90^0\Rightarrow\widehat{APB}=180^0-\left(90^0+30^0\right)=60^0\)

Tương tự ta có \(\widehat{ACB}\) là góc nt chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{ACB}=90^0\Rightarrow\widehat{BCP}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{CQD}=360^0-\left(\widehat{APB}+\widehat{ADP}+\widehat{ACB}\right)=360^0-\left(60^0+90^0+90^0\right)=120^0\)

\(\Rightarrow\widehat{AQB}=\widehat{CQD}=120^0\) (2 góc đối đỉnh)