a: ND=DP=10/2=5cm

Xét ΔDMN có DE là phân giác

nên ME/EN=MD/DN=4/5

Xét ΔMDP có DF là phân giác

nên MF/FP=MD/DP=4/5

b: Xét ΔMNP có ME/EN=MF/FP

nên EF//NP

c: Xét ΔMKF và ΔMDP có

góc MKF=góc MDP

góc KMF chung

=>ΔMKF đồng dạng với ΔMDP

d: Xét ΔMND có EK//ND

nên EK/ND=MK/MD

Xét ΔMDP cóa KF//DP

nên KF/DP=MK/MD

=>EK/ND=KF/DP

=>EK=KF

=>K là trung điểm của EF

Lời giải:

a) Theo tính chất tia phân giác ta có:

$\frac{EM}{EN}=\frac{DM}{DN}=\frac{2DM}{NP}(1)$

$\frac{FM}{FP}=\frac{DM}{DP}=\frac{2DM}{NP}(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow \frac{EM}{EN}=\frac{FM}{FP}$

Theo định lý Talet đảo suy ra $EF\parallel NP$

b) 

$G$ là điểm nào bạn?

Hình vẽ:

a: Xét ΔDEF có DI là phân giác

nên \(\dfrac{DE}{DF}=\dfrac{EI}{IF}\)

=>\(\dfrac{EI}{4,8}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}\)

=>EI=8(cm)

b: Ta có: EI+IF=EF

=>EF=6+8=14(cm)

Xét ΔEDF có MI//DF

nên \(\dfrac{MI}{DF}=\dfrac{EI}{EF}=\dfrac{EM}{ED}\)

=>\(\dfrac{MI}{6}=\dfrac{EM}{10}=\dfrac{6}{14}=\dfrac{3}{7}\)

=>\(MI=\dfrac{18}{7}\left(cm\right);EM=\dfrac{30}{7}\left(cm\right)\)

MD+ME=DE

=>MD+30/7=10

=>MD=40/7(cm)

c: Xét ΔDEF có DI là phân giác

nên \(\dfrac{EI}{IF}=\dfrac{ED}{DF}\left(1\right)\)

Xét ΔEDF có MI//DF

nên \(\dfrac{EI}{IF}=\dfrac{ME}{MD}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{ED}{DF}=\dfrac{ME}{MD}\)

a: Xét ΔPEN vuông tại E và ΔPDM vuông tại D có

\(\hat{EPN}\) chung

Do đó: ΔPEN~ΔPDM

b: Xét ΔHDN vuông tại D và ΔHEM vuông tại E có

\(\hat{DHN}=\hat{EHM}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHDN~ΔHEM

=>\(\frac{HD}{HE}=\frac{HN}{HM}\)

=>\(HD\cdot HM=HE\cdot HN\)

c: Xét ΔMNP có

MD,NE là các đường cao

MD cắt NE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔMNP

=>PH⊥MN tại F

Xét ΔPEH vuông tại E và ΔPFM vuông tại F có

\(\hat{EPH}\) chung

Do đó: ΔPEH~ΔPFM

=>\(\frac{PE}{PF}=\frac{PH}{PM}\)

=>\(\frac{PE}{PH}=\frac{PF}{PM}\)

Xét ΔPEF và ΔPHM có

\(\frac{PE}{PH}=\frac{PF}{PM}\)

góc EPF chung

Do đó: ΔPEF~ΔPHM

=>\(\hat{PFE}=\hat{PMH}\)

Xét ΔPDH vuông tại D và ΔPFN vuông tại F có

\(\hat{DPH}\) chung

DO đó: ΔPDH~ΔPFN

=>\(\frac{PD}{PF}=\frac{PH}{PN}\)

=>\(\frac{PD}{PH}=\frac{PF}{PN}\)

Xét ΔPDF và ΔPHN có

\(\frac{PD}{PH}=\frac{PF}{PN}\)

góc DPF chung

Do đó: ΔPDF~ΔPHN

=>\(\hat{PFD}=\hat{PNH}\)

Ta có: \(\hat{PFD}=\hat{PNH}\)

\(\hat{PFE}=\hat{PMH}\)

mà \(\hat{PNH}=\hat{PMH}\left(=90^0-\hat{MPN}\right)\)

nên \(\hat{PFD}=\hat{PFE}\)

=>FP là phân giác của góc DFE

a: Xét ΔMNP có

D là trung điểm của MP

E là trung điểm của MN

Do đó: DE là đường trung bình của ΔMNP

Suy ra: DE//NP

hay PDEN là hình thang vuông

DE=NP/2=11(cm)