Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ và $S(0,0,a)$ vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$.
- Hình chiếu $H$ của $A$ lên $SB$:
$\vec{SB} = B - S = (a,0,-a)$, $\vec{SA} = A - S = (0,0,-a)$
Hình chiếu $H$: $\vec{SH} = t \vec{SB}$, $z_H = 0 \Rightarrow a - a t = 0 \Rightarrow t=1$
Vậy $H = S + \vec{SH} = S + \vec{SB} = (0,0,a) + (a,0,-a) = (a,0,0)$
- Hình chiếu $K$ của $A$ lên $SD$:
$\vec{SD} = D - S = (0,a,-a)$, $\vec{SK} = s \vec{SD}$, $z_K = 0 \Rightarrow a - a s = 0 \Rightarrow s = 1$
Vậy $K = S + \vec{SD} = (0,0,a) + (0,a,-a) = (0,a,0)$
- Mặt phẳng $(AHK)$ đi qua $A(0,0,0), H(a,0,0), K(0,a,0)$
Pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{AH} \times \vec{AK} = (a,0,0) \times (0,a,0) = (0,0,a^2)$
- Vector $\vec{SD} = D - S = (0,a,-a)$
- Tang của góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(AHK)$:
$\tan \theta = \dfrac{|\text{phần song song với mặt phẳng}|}{|\text{phần vuông góc với pháp tuyến}|} = \dfrac{|\text{phần vuông góc với pháp tuyến}|}{|\text{phần song song}|} ?$
Công thức chuẩn: với đường thẳng $\vec{v}$ và mặt phẳng pháp tuyến $\vec{n}$:
$\tan \theta = \dfrac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v} \times \vec{n}|}$
Tính:
$\vec{v} \cdot \vec{n} = (0,a,-a) \cdot (0,0,a^2) = -a \cdot a^2 = -a^3$
$|\vec{v} \times \vec{n}| = |(0,a,-a) \times (0,0,a^2)| = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & -a \\ 0 & 0 & a^2 \end{vmatrix} = (a^3,0,0) \Rightarrow |\vec{v} \times \vec{n}| = a^3$
Vậy: $\tan \theta = \dfrac{|-a^3|}{a^3} = 1$
Chọn C. $1$
Chọn C