Xét ∆ ADE và  ∆ DCF:

AD = DC (gt)

∠ A = ∠ D = 90 °

DE = CF (gt)

Do đó:  ∆ ADE =  ∆ DCF (c.g.c)

⇒ AE = DF

∠ (EAD) =  ∠ (FDC)

∠ (EAD) +  ∠ (DEA) =  90 °  (vì ΔADE vuông tại A)

⇒ ∠ (FDC) +  ∠ (DEA) =  90 °

Gọi I là giao điểm của AE và DF.

Suy ra:  ∠ (IDE) +  ∠ (DEI) =  90 °

Trong  ∆ DEI ta có:  ∠ (DIE) =  180 °  – ( ∠ (IDE) +  ∠ (DEI) ) =  180 °  –  90 °  =  90 °

Suy ra: AE ⊥ DF

a: ABCD là hình vuông

=>DB là phân giác của góc ADC

=>\(\hat{ADB}=\hat{CDB}=\frac12\cdot\hat{ADC}=45^0\)

EK//AD

AD⊥BA

Do đó: EK⊥BA

ABCD là hình vuông

=>BD là phân giác của góc ABC

=>\(\hat{ABD}=\hat{CBD}=\frac12\cdot\hat{ABC}=45^0\)

AE+EB=AB

DF+FA=DA

mà AB=DA và AE=DF

nên EB=FA

Xét ΔKEB vuông tại E có \(\hat{KBE}=45^0\)

nên ΔKEB vuông cân tại E

=>EK=EB

mà EB=AF
nên EK=AF

Xét tứ giác AEKF có

EK//AF

EK=AF

Do đó: AEKF là hình bình hành

Hình bình hành AEKF có \(\hat{EAF}=90^0\)

nên AEKF là hình chữ nhật

b: Xét ΔEAD vuông tại A và ΔFDC vuông tại D có

EA=FD

AD=DC

Do đó: ΔEAD=ΔFDC

=>ED=FC

ΔEAD=ΔFDC

=>\(\hat{EDA}=\hat{FCD}\)

mà \(\hat{FCD}+\hat{DFC}=90^0\)

nên \(\hat{DFC}+\hat{EDA}=90^0\)

=>ED⊥FC

a: Xét ΔAED vuông tại A và ΔDFC vuông tại D có

AD=DC

AE=DF

=>ΔAED=ΔDFC

=>FC=DE

b: Xét tứ giác DQPF có

I là trung điểm chung của DP và QF

DP vuông góc DF

=>DQPF là hình thoi

A B C D E F

\(\Delta ADE=\Delta DCF\left(c-g-c\right)\), suy ra AE = DF và \(\widehat{DAE}=\widehat{CDF}.\)

Ta lại có \(\widehat{CDF}+\widehat{ADF}=90^o\) nên \(\widehat{DAE}+\widehat{ADF}=90^o.\) Do đó

AE \(\perp\) DF.