Vì ABCD là hình vuông (giả thiết).

\(\Rightarrow AB=BC=CD=DA\)(tính chất)

Và \(AB//CD\)(tính chất)  \(\Rightarrow AB//DF\).

Và \(AD//CE\)(tính chất) \(\Rightarrow CE//AD\)

\(AB//DF\)(chứng minh trên)

\(\frac{AB}{AE}=\frac{FC}{FE}\)(hệ quả của định lí Ta-lét)

\(\Rightarrow\frac{AD}{AE}=\frac{FC}{FE}\)(vì \(AB=AD\))

\(\Rightarrow\frac{AD^2}{AE^2}=\frac{FC^2}{FE^2}\left(1\right)\)

Vì \(AB//CF\)(giả thiết)

\(\Rightarrow\frac{BE}{CE}=\frac{AE}{FE}\)(hệ quả của định lí Ta-lét) (2)

\(\Rightarrow\frac{BE}{CE+BE}=\frac{AE}{FE+AE}\)(tính chất của tỉ lệ thức)

\(\Rightarrow\frac{BE}{BC}=\frac{AE}{AF}\)\(\Rightarrow\frac{BE}{AD}=\frac{AE}{AF}\)(vì \(AD=BC\))

\(\Rightarrow\frac{AD}{AF}=\frac{BE}{AE}\)(tính chất của tỉ lệ thức)

Từ (2) \(\Rightarrow\frac{BE}{AE}=\frac{CE}{FE}\)(tính chất của tỉ lệ thức)

Do đó \(\frac{AD}{AF}=\frac{CE}{FE}\Rightarrow\frac{AD^2}{AF^2}=\frac{CE^2}{FE^2}\left(3\right)\)

Từ (1) và (3)

\(\Rightarrow\frac{AD^2}{AE^2}+\frac{AD^2}{AF^2}=\frac{FC^2}{FE^2}+\frac{CE^2}{FE^2}\)

\(\Rightarrow AD^2\left(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}\right)=\frac{FC^2+CE^2}{FE^2}\)

Vì ABCD là hình vuông (giả thiết)

\(\Rightarrow BC\perp CD\)(tính chất)\(\Rightarrow EC\perp DF\)

Do đó \(\Delta CEF\)vuông tại C.

\(\Rightarrow CE^2+CF^2=EF^2\)(định lí Py-ta-go)

Do đó: \(AD^2\left(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}\right)=\frac{FE^2}{FE^2}=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{AD^2}\)(điều phải chứng minh).

A B D C E F

Dựng điểm H thuộc tia CD sao cho $DH=BE.$.
Ta có $\Delta ABE=\Delta ADH\left(c-g-c\right)\Rightarrow AE=AH$.
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AHF: \widehat{HAF}=90^o;AD\perp HFHAF=90o;AD⊥HF.
Ta có \dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AD^2}AH21​+AF21​=AD21​ nên \dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AD^2}AE21​+AF21​=AD21​

Dựng điểm H thuộc tia CD sao cho $DH=BE.$.
Ta có $\Delta ABE=\Delta ADH\left(c-g-c\right)\Rightarrow AE=AH$.
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AHF: \widehat{HAF}=90^o;AD\perp HFHAF=90o;AD⊥HF.
Ta có \dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AD^2}AH21​+AF21​=AD21​ nên \dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AD^2}AE21​+AF21​=AD21​.

Vì ABCD là hình vuông(giả thiết)

\(\Rightarrow AB=BC=CD=DA\)(tính chất)

 và \(AB//CD\)(tính chất)\(\Rightarrow AB//DF\)

và \(AD//CE\)(tính chất)\(\Rightarrow CE//AD\)

\(AB//DF\)(cmt)

\(\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{FC}{FE}\)(hệ quả)

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{FC}{FE}\)(vì\(AB=AD\))

\(\Rightarrow\dfrac{AD^2}{AE^2}=\dfrac{FC^2}{FE^2}\) (1)

Vì \(AB//CF\)(giả thiết)

\(\Rightarrow\dfrac{BE}{CE}=\dfrac{AE}{FE}\)(hệ quả)(2)

\(\Rightarrow\dfrac{BE}{CE+BE}=\dfrac{AE}{FE+AE}\)(tính chất)

\(\Rightarrow\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{AE}{AF}\Rightarrow\dfrac{BE}{AD}=\dfrac{AE}{AF}\)(vì \(AD=BC\))

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{BE}{AE}\)(tính chất)

từ (2)\(\Rightarrow\dfrac{BE}{AE}=\dfrac{CE}{CF}\)(tính chất)

Do đó\(\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{CE}{CF}\Rightarrow\dfrac{AD^2}{AF^2}=\dfrac{CF^2}{FE^2}\)(3)

Từ (1) và (3)

\(\Rightarrow\dfrac{AD^2}{AE^2}+\dfrac{AD^2}{AF^2}=\dfrac{FC^2}{FE^2}+\dfrac{CE^2}{FE^2}\)

\(\Rightarrow AD^2(\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2})=\dfrac{FC^2+CE^2}{FE^2}\)

Vì ABCD là hình vuông(gt)

\(\Rightarrow BC\perp CD\)(tính chất)\(\Rightarrow EC\perp DF\)

Do đó \(\Delta CEF\) vuông tại C

\(\Rightarrow CE^2+CF^2=EF^2\)(định lí)

Do đó:\(AD^2(\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2})=\dfrac{FE^2}{FE^2}=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AD^2}\)(đpcm)

Dựng điểm H thuộc tia CD sao cho DH=BE..
Ta có ΔABE=ΔADH(c−g−c)⇒AE=AH.
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AHF: ^HAF=90o;AD⊥HF.
Ta có 1AH2 +1AF2 =1AD2  nên 1AE2 +1AF2 =1AD2 .