Từ B kẻ BH vuông góc với CD tại H.

Vì AB//CD; AD vuông góc với CD nên AB vuông góc AD hay Góc A=90 độ.

Tứ giác ABHD có Góc A=D=H nên ABHD là hình chữ nhật

=> AB=HD=2cm => HC = CD - HD = 3cm

Tam giác BHC vuông tại H, có góc C=45 độ

=> tam giác BHC vuông cân tại H => BH=HC=3cm

=> AD=BH=3cm.

Gọi K là giao điểm của AD và BC

Xét ΔKDC có \(\hat{KDC}+\hat{KCD}=90^0\)

nên ΔKDC vuông tại K

Xét ΔKDC có AB//DC

nên \(\frac{KA}{KD}=\frac{AB}{DC}\)

=>\(\frac{KA}{KA+AD}=\frac{5}{15}=\frac13\)

=>\(\frac{KA}{KA+6}=\frac13\)

=>3KA=KA+6

=>2KA=6

=>KA=3(cm)

Xét ΔKDC có AB//DC

nên \(\frac{KB}{KC}=\frac{AB}{DC}\)

=>\(\frac{KB}{KB+BC}=\frac{5}{15}=\frac13\)

=>\(\frac{KB}{KB+8}=\frac13\)

=>3KB=KB+8

=>2KB=8

=>KB=4(cm)

ΔKAB vuông tại K

=>\(S_{KAB}=\frac12\cdot KA\cdot KB=\frac12\cdot3\cdot4=3\cdot2=6\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

KA+AD=KD

=>KD=3+6=9(cm)

KB+BC=KC

=>KC=4+8=12(cm)

ΔKCD vuông tại K

=>\(S_{KCD}=\frac12\cdot KD\cdot KC=\frac12\cdot9\cdot12=6\cdot9=54\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Ta có: \(S_{KAB}+S_{ABCD}=S_{KCD}\)

=>\(S_{ABCD}=54-6=48\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Gọi I là giao điểm của BC và AD

Xét ΔIDC vuông tại D có \(\hat{DCI}=45^0\)

nên ΔIDC vuông cân tại D

=>DI=DC=4cm

Xét ΔIDC có AB//DC

nên \(\frac{IA}{ID}=\frac{IB}{IC}=\frac{AB}{DC}=\frac12\)

=>A là trung điểm của ID

=>AD=ID/2=2(cm)

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot\left(AB+CD\right)\cdot AD\)

\(=\frac12\cdot2\cdot\left(2+4\right)=6\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

diện tích hình thang = (đáy lớn + đáy bé)chiều cao : 2 = (2+4)x2:2= 6 cm^2

\(\frac{1}{2}\)x2(2+4)=6(cm^2(