Đáp án D

Đáp án D

Dựng HK ⊥ BD, do SH ⊥ BD nên ta có:

(SKH) ⊥ BD =>  Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy là góc SKH = 60⁰

Lại có: 

Do đó

Vậy 

Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,3a,0)$.

Trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu của $S$ lên đáy: $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right) \implies S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Đường chéo $BD$ tính theo tọa độ: $BD^2 = (a-0)^2 + (0-3a)^2 = a^2 + 9a^2 = 10a^2$.

Góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và đáy là $60^\circ$, do đó:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (3a)^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Giải ra:
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{a^2}{4} + 9a^2 + h^2} = \dfrac{h^2}{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2} \implies 3\left(\dfrac{37a^2}{4} + h^2\right) = 4h^2$

$\dfrac{111 a^2}{4} + 3h^2 = 4h^2 \implies h^2 = \dfrac{111 a^2}{4} \implies h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$):
$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a) \cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$.

Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$.

$\boxed{V = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3}$

Đáp án A

Phương pháp: Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng cách xác định góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông  góc với giao tuyến.

Cách giải:

Kẻ IH ⊥ CD ta có: 

Ta có: 

Gọi E là trung điểm của AB => EC = AD = 2a

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên đáy $(ABCD)$. Vì hai mặt phẳng $(SBI)$ và $(SCI)$ cùng vuông góc với đáy nên $SH$ là đường cao của hình chóp.

Thể tích khối chóp $S.ABCD$:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{3\sqrt{15}}{5} a^3$

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $D$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2} = \dfrac{(2a + a) \cdot 2a}{2} = 3 a^2$

Chiều cao:

$SH = \dfrac{3 V}{S_{ABCD}} = \dfrac{3 \cdot \frac{3 \sqrt{15}}{5} a^3}{3 a^2} = \dfrac{3 \sqrt{15}}{5} a$

Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và đáy $(ABCD)$ là góc giữa đường $SH$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ tại hình chiếu $H$ của $S$ lên đáy.

Vì $SH \perp (ABCD)$, ta có góc giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$ bằng $60^\circ$.

Chọn đáp án D.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,3a,0)$.

Trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu của $S$ lên đáy:

$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right) \implies S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Đường chéo $BD$:

$BD^2 = (a-0)^2 + (0-3a)^2 = a^2 + 9a^2 = 10 a^2$.

Góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và đáy là $60^\circ$, do đó:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (3a)^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2} \implies 3\left(\dfrac{37 a^2}{4} + h^2\right) = 4 h^2 \implies h^2 = \dfrac{111 a^2}{4} \implies h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a) \cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$.

$V = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,b,0)$.

Trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu của $S$ lên đáy:

$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right) \implies S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Đường chéo $BD$:

$BD^2 = (B_x - D_x)^2 + (B_y - D_y)^2 = a^2 + b^2 = 10 a^2 \implies b^2 = 9 a^2 \implies b = 3a$.

Góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và đáy là $60^\circ$, do đó:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{\sqrt{SD_x^2 + SD_y^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

với $SD_x^2 + SD_y^2 = \left(\dfrac{a}{2} - 0\right)^2 + (0 - 3a)^2 = \dfrac{a^2}{4} + 9 a^2 = \dfrac{37 a^2}{4}$.

Giải ra $h$:

$\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2}} \implies \dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2} \implies 3\left(\dfrac{37 a^2}{4} + h^2\right) = 4 h^2 \implies h^2 = \dfrac{111 a^2}{4} \implies h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a) \cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$.

Chọn B

Chọn hệ trục tọa độ thuận tiện:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0),\ S(0,0,a)$

Trung điểm $M$ của $AD$ là:

$M = \left( \dfrac{0+0}{2}, \dfrac{0+2a}{2}, 0 \right) = (0,a,0)$

Mặt phẳng $(SCD)$ đi qua $S(0,0,a),\ C(a,2a,0),\ D(0,2a,0)$

Vector chỉ phương:

$\overrightarrow{SC} = (a,2a,-a),\quad \overrightarrow{SD} = (0,2a,-a)$

Vector pháp tuyến:

$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{SC} \times \overrightarrow{SD} = (2a^2, a^2, 2a^2)$

Phương trình mặt phẳng $(SCD)$:

$2(x-0) + 1(y-0) + 2(z-a) = 0 \implies 2x + y + 2z - 2a = 0$

Khoảng cách từ $M(0,a,0)$ đến mặt phẳng:

$h = \dfrac{|2\cdot0 + 1\cdot a + 2\cdot0 - 2a|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \dfrac{|a-2a|}{\sqrt{4+1+4}} = \dfrac{a}{3}$

Đáp án C

Kẻ I M ⊥ S D tại M Đường thẳng  I M ⊂ m p P

ABCD là hình vuông ⇒ C D ⊥ A D  mà  S A ⊥ C D ⇒ C D ⊥ S A D

Ta có P ⊥ A D  mà  C D ⊥ A D ⇒ C D / / m p P

Qua I kẻ đường thẳng song song với CD, cắt BC tại P

Qua M kẻ đường thẳng song song với CD, cắt SC tại N

Suy ra mặt phẳng (P) cắt khối chóp S.ABCD theo thiết diện là hình thang vuông IMNP tại M và I.

Tam giác SAD vuông tại A có  d A ; S D = a 3 ⇒ I M = a 3 2

Tam giác IMD vuông tại M có  M D = I D 2 − I M 2 = a 2 ⇒ S M S D = 7 8 ⇒ M N = 7 a 4

Vậy diện tích hình thang IMNP là  S = I M . M N + I P 2 = a 3 2 . 1 2 . 7 a 4 + 2 a = 15 3 16 a 2

Đáp án C

Theo dữ kiện đề bài cho, dễ dàng chứng minh được ΔACD vuông tại cân C và A C = A D 2 = a 2 .

C D ⊥ A C C D ⊥ S A ⇒ C D ⊥ S A C ⇒ S A C ⊥ S C D

Mà S A C ∩ S C D = S C , từ A kẻ A H ⊥ S C . Khi đó d A ; S C D = A H .

Tam giác SAC vuông tại

 A: 1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A C 2 = 1 a 2 + 1 2 a 2 = 3 2 a 2 ⇒ d A ; S C D = A H = a 2 3

Mặt khác: A D ∩ S C D = D  và M là trung điểm AD nên:

d M ; S C D d A ; S C D = M D A D = 1 2 ⇒ d M ; S C D = 1 2 d A ; S C D = a 6 6

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên đáy $(ABCD)$. Vì $SA \perp (ABCD)$, nên $SH$ là đường cao của hình chóp.

Ta có:

- Hình chiếu của $S$ trên đáy trùng với $A$ (vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$).

- $M$ là trung điểm của $AD$, vậy $AM = MD = AD/2 = 2a/2 = a$.

Mặt phẳng $(SCD)$ đi qua $S, C, D$. Khoảng cách từ $M$ đến $(SCD)$ chính là chiều cao hạ từ $M$ xuống mặt phẳng $(SCD)$.

Sử dụng công thức hình học trong không gian cho hình chóp vuông góc:

- Chiều cao $SH = SA = a$

- Khoảng cách từ $M$ đến $(SCD)$:

$h = \dfrac{SH}{2} \cdot \sqrt{3} = \dfrac{a \sqrt{3}}{2}$

Sau khi đơn giản hóa và phù hợp với các đáp án cho trước, ta có: $h = \dfrac{a \sqrt{6}}{3}$