Chọn C

Phương pháp:

Cách giải:

Hình chóp tam giác đều ABC có chiều cao a, cạnh bên 2a.

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC => SH là đường cao hình chóp => SH = a

Gọi I là trung điểm BC

Do tam giác ABC đều

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = 2 \Rightarrow AC = 2\sqrt2$.

Các cạnh bên: $SA = SB = SC = 2$.

Ta có: $AB^2 + BC^2 = 4 + 4 = 8 = AC^2$ nên $\triangle ABC$ vuông tại $B$.

Mặt khác: $SA = SB = SC = 2$ nên điểm $S$ cách đều $A,B,C$.

Suy ra $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm $O$ của $AC$.

Do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$.

Ta có: $AC = 2\sqrt2 \Rightarrow OA = OB = OC = \dfrac{AC}{2} = \sqrt2$.

Xét tam giác vuông $SAO$:

$SA^2 = SO^2 + OA^2$

$4 = SO^2 + 2 \Rightarrow SO^2 = 2 \Rightarrow SO = \sqrt2$.

Suy ra: $R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$.

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{2\sqrt2}{8} = \dfrac{\sqrt2\pi}{3}$.

Vậy $V = \dfrac{\sqrt2\pi}{3}$.

Đáp án C

Gọi H là trực tâm của tam giác đều ABC  ⇒ S H ⊥ A B C

A H = 2 3 a 3 2 = a 3 3 S H = S A 2 − A H 2 = 3 a 2 − a 2 3 = 2 6 a 3 V S . A B C = 1 3 S H . S A B C = 1 3 2 6 a 3 a 2 3 4 = a 3 2 6

Chọn B. 

Phương pháp: Mấu chốt bài toán là chỉ ra được tam giác SAC vuông tại S.

Cách giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD, H là hình chiếu của S lên mặt đáy.

Đáy $ABC$ có:

$AB = a,\ AC = a\sqrt3,\ \widehat{BAC} = 30^\circ$.

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin 30^\circ= \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot a\sqrt3 \cdot \dfrac{1}{2}= \dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.

Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ nên:

$SA = SB = AB = a$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $M$ của $AB$.

Trong tam giác đều $SAB$:

$SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Vì $(SAB) \perp (ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$, do đó $SM$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SM= \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}= \dfrac{a^3 \cdot 3}{24}= \dfrac{a^3}{8}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3}{8}$.

Chọn đáp án A.