Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT tam giác ta có:
a+b>c =>c-a<b =>c2-2ac+a2<b2
a+c>b =>b-c <a =>b2-2bc+c2<a2
b+c>a =>a-b<c =>a2-2ab+b2<c2
Suy ra: c2-2ac+a2+b2-2bc+c2+a2-2ab+b2<a2+b2+c2
<=>-2.(ab+bc+ca)+2.(a2+b2+c2)<a2+b2+c2
<=>-2(ab+bc+ca)<-(a2+b2+c2)
<=>2.(ab+bc+ca)<a2+b2+c2
Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $BC = 2a$.
Giả sử $AB = x,\ AC = y$ thì:
$x^2 + y^2 = (2a)^2 = 4a^2$.
Các cạnh bên $SA, SB, SC$ cùng tạo với mặt đáy góc $60^\circ$ nên:
$\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{HA} = \dfrac{SH}{HB} = \dfrac{SH}{HC}$.
Suy ra: $HA = HB = HC$ nên $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Vì $ABC$ vuông tại $A$ nên $H$ là trung điểm của $BC$.
Suy ra: $HA = HB = HC = \dfrac{BC}{2} = a$.
Do đó: $\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{a} \Rightarrow \sqrt3 = \dfrac{SH}{a} \Rightarrow SH = a\sqrt3$.
Ta có: $SA^2 = SH^2 + HA^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2 \Rightarrow SA = 2a$.
Tương tự: $SB = SC = 2a$.
Suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $SH$.
Bán kính: $R = \dfrac{SH}{2} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$.
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{3\sqrt3 a^3}{8} = \dfrac{\sqrt3\pi a^3}{2}$.
Vậy $V = \dfrac{\sqrt3\pi a^3}{2}$.
Chọn đáp án D.
Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:
$AB = BC = 2 \Rightarrow AC = 2\sqrt2$.
Các cạnh bên: $SA = SB = SC = 2$.
Ta có: $AB^2 + BC^2 = 4 + 4 = 8 = AC^2$ nên $\triangle ABC$ vuông tại $B$.
Mặt khác: $SA = SB = SC = 2$ nên điểm $S$ cách đều $A,B,C$.
Suy ra $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm $O$ của $AC$.
Do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$.
Ta có: $AC = 2\sqrt2 \Rightarrow OA = OB = OC = \dfrac{AC}{2} = \sqrt2$.
Xét tam giác vuông $SAO$:
$SA^2 = SO^2 + OA^2$
$4 = SO^2 + 2 \Rightarrow SO^2 = 2 \Rightarrow SO = \sqrt2$.
Suy ra: $R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$.
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{2\sqrt2}{8} = \dfrac{\sqrt2\pi}{3}$.
Vậy $V = \dfrac{\sqrt2\pi}{3}$.
Chọn C
Phương pháp:
Cách giải:
Hình chóp tam giác đều ABC có chiều cao a, cạnh bên 2a.
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC => SH là đường cao hình chóp => SH = a
Gọi I là trung điểm BC
Do tam giác ABC đều