Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC,
suy ra SG vuông góc với (ABC), suy ra SG là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Trong (SAG) kẻ trung trục SA cắt SG tại I.
Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Do tam giác SNI đồng dạng với SGA nên
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $3a$ nên tâm ngoại tiếp $O$ của tam giác $ABC$ thỏa:
$OA=OB=OC=\dfrac{3a}{\sqrt3}=a\sqrt3$.
Vì $SC\perp(ABC)$ và $SC=2a$ nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc đáy tại $C$.
Tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $O$.
Đặt:
$IC=x$.
Suy ra:
$IS=2a-x$.
Do $IA=IS$ nên:
$\sqrt{OA^2+x^2}=2a-x$.
Thay $OA=a\sqrt3$:
$\sqrt{3a^2+x^2}=2a-x$.
Bình phương hai vế:
$3a^2+x^2=4a^2-4ax+x^2$
$\Rightarrow 4ax=a^2$
$\Rightarrow x=\dfrac a4$.
Vậy:
$R=IS=2a-\dfrac a4=\dfrac{7a}{4}$.
Do đó:
$\boxed{R=\dfrac{7a}{4}}$.
Chọn đáp án C
Vậy hai điểm cùng nhìn cạnh dưới một góc vuông. Điều đó chứng tỏ SC là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Do đó bán kính
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên:
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
Đặt hệ trục tọa độ:
$B(0,0,0),\ A(3,0,0),\ C(0,4,0)$.
Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=5$ nên:
$S(3,0,5)$.
Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
Từ $OA=OB$:
$(x-3)^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2 \Rightarrow x=\dfrac32$.
Từ $OB=OC$:
$x^2+(y-4)^2+z^2=x^2+y^2+z^2 \Rightarrow y=2$.
Từ $OA=OS$:
$z^2=(z-5)^2 \Rightarrow z=\dfrac52$.
Vậy:
$O\left(\dfrac32,2,\dfrac52\right)$.
Bán kính mặt cầu:
$R=OA=\sqrt{\left(\dfrac32\right)^2+2^2+\left(\dfrac52\right)^2}$
$=\sqrt{\dfrac94+4+\dfrac{25}{4}}=\sqrt{\dfrac{50}{4}}=\dfrac{5\sqrt2}{2}$.
Vậy:
$\boxed{R=\dfrac{5\sqrt2}{2}}$.
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $3a$ nên tâm ngoại tiếp $O$ của tam giác $ABC$ thỏa:
$OA=OB=OC=\dfrac{3a}{\sqrt3}=a\sqrt3$.
Vì $SC\perp(ABC)$ và $SC=2a$ nên điểm $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc đáy tại $C$.
Gọi $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Khi đó $I$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $O$.
Đặt:
$IC=x$.
Suy ra:
$IS=2a-x$.
Do $IA=IS$ nên:
$\sqrt{OA^2+x^2}=2a-x$.
Thay $OA=a\sqrt3$:
$\sqrt{3a^2+x^2}=2a-x$.
Bình phương hai vế:
$3a^2+x^2=4a^2-4ax+x^2$
$\Rightarrow 4ax=a^2$
$\Rightarrow x=\dfrac a4$.
Vậy bán kính mặt cầu:
$R=IS=2a-\dfrac a4=\dfrac{7a}{4}$.
Do đó:
$\boxed{R=\dfrac{7a}{4}}$.
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên:
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$.
Đặt hệ trục tọa độ:
$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a\sqrt3,0)$.
Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=2a$ nên:
$S(a,0,2a)$.
Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
Từ $OA=OB$:
$(x-a)^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2 \Rightarrow x=\dfrac a2$.
Từ $OB=OC$:
$x^2+(y-a\sqrt3)^2+z^2=x^2+y^2+z^2 \Rightarrow y=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.
Từ $OA=OS$:
$z^2=(z-2a)^2 \Rightarrow z=a$.
Vậy:
$O\left(\dfrac a2,\dfrac{a\sqrt3}{2},a\right)$.
Bán kính mặt cầu:
$R=OA=\sqrt{\left(\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2+a^2}$
$=\sqrt{\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{3a^2}{4}+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt2$.
Vậy:
$\boxed{R=a\sqrt2}$.
Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + (a\sqrt3)^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2 \Rightarrow AC = 2a$.
Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $A$, suy ra:
$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (2a\sqrt3)^2 + (2a)^2 = 12a^2 + 4a^2 = 16a^2 \Rightarrow SC = 4a$.
Xét tam giác $SBC$: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 12a^2 + a^2 = 13a^2$,
$BC = a\sqrt3 \Rightarrow BC^2 = 3a^2$.
Ta có: $SB^2 + BC^2 = 13a^2 + 3a^2 = 16a^2 = SC^2$.
Suy ra $\triangle SBC$ vuông tại $B$, nên tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $SC$.
Bán kính: $R = \dfrac{SC}{2} = \dfrac{4a}{2} = 2a$.
Vậy $R = 2a$.
Chọn đáp án D.
