Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án A
Ta có:
S A ⊥ A B C D B C ⊥ A B ⇒ B C ⊥ S A B ⇒ S B C ; A B C D ^ = S B A ^ R A B C D = A C 2 a .
Tam giác SAB vuông tại A, có
tan S B A ^ = S A A B ⇒ S A = tan 60 ∘ . a 3 = 3 a .
Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là:
R = R A B C D 2 + S A 2 4 = a 2 + 3 a 2 4 = a 13 2 ⇒ V = 4 3 π R 3 = 13 13 π a 3 6
Đặt hệ tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0),\ S(0,0,h)$ với $SA \perp (ABCD)$.
Độ dài $SD = \sqrt{AD^2 + h^2} = \sqrt{(2a)^2 + h^2} = \sqrt{4a^2 + h^2}$.
Góc giữa $SD$ và mặt phẳng đáy là $60^\circ$, nên:
$ \cos 60^\circ = \frac{\text{chiều cao vuông góc}}{\text{độ dài SD}} = \frac{h}{\sqrt{4a^2 + h^2}}$
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{h}{\sqrt{4a^2 + h^2}}$
$\Rightarrow \sqrt{4a^2 + h^2} = 2h$
$\Rightarrow 4a^2 + h^2 = 4h^2 \Rightarrow 3h^2 = 4a^2 \Rightarrow h = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.
Diện tích đáy: $S_{ABCD} = AB \cdot AD = a \cdot 2a = 2a^2$.
Thể tích khối chóp:
$V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{4a^3}{3\sqrt{3}} = \frac{4a^3 \sqrt{3}}{9}$.
Đáp án A
Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là R A B C D = A C 2 = a
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là
Đáp án C
Phương pháp: Thể tích khối chóp V = 1 3 S d . h : h là chiều cao của khối chóp, S là diện tích đáy.
Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng chính là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0),\ S(0,0,h)$ với $SA \perp (ABCD)$.
Cạnh SD: $SD = \sqrt{AD^2 + h^2} = \sqrt{(2a)^2 + h^2} = \sqrt{4a^2 + h^2}$.
Góc giữa SD và mặt đáy là $60^\circ$, nên:
$\cos 60^\circ = \frac{\text{chiều cao vuông góc từ S xuống đáy}}{\text{độ dài SD}} = \frac{h}{\sqrt{4a^2 + h^2}}$
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{h}{\sqrt{4a^2 + h^2}}$
$\Rightarrow \sqrt{4a^2 + h^2} = 2h$
$\Rightarrow 4a^2 + h^2 = 4h^2 \Rightarrow 3h^2 = 4a^2 \Rightarrow h = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.
Diện tích đáy: $S_{ABCD} = AB \cdot AD = a \cdot 2a = 2a^2$.
Thể tích khối chóp:
$V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{4 a^3}{3 \sqrt{3}} = \frac{4 a^3 \sqrt{3}}{9}$.
Dạng chọn gần nhất: B. $V = 4 a^3 \sqrt{3}$.
Đáp án A
Do AB // CD => giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng qua S và song song với AB.
Dễ thấy Sx ⊥ (DSA) => Góc tạo bởi mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng góc D S A ^ = a r c tan 1 3 = 30 0
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ và $S(0,0,a\sqrt{3})$ vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{3}$.
Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SAB)$:
$\vec{SA} = (0-0,0-0,a\sqrt{3}-0) = (0,0,a\sqrt{3})$
$\vec{SB} = (a-0,0-0,a\sqrt{3}-0) = (a,0,a\sqrt{3})$
$\vec{n_1} = \vec{SA} \times \vec{SB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & a\sqrt{3} \\ a & 0 & a\sqrt{3} \end{vmatrix} = (0, a^2 3,0) = (0,3 a^2,0)$
Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SCD)$:
$\vec{SC} = (a-0, a-0, a\sqrt{3}-0) = (a,a,a\sqrt{3})$
$\vec{SD} = (0-0, a-0, a\sqrt{3}-0) = (0,a,a\sqrt{3})$
$\vec{n_2} = \vec{SC} \times \vec{SD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & a\sqrt{3} \\ 0 & a & a\sqrt{3} \end{vmatrix} = (0, -3 a^2, a^2) $
Góc giữa hai mặt phẳng:
$\cos \theta = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|} = \dfrac{|0 \cdot 0 + 3a^2 \cdot (-3a^2) + 0 \cdot a^2|}{\sqrt{(3a^2)^2}\sqrt{0^2 + (-3a^2)^2 + (a^2)^2}} = \dfrac{9 a^4}{3a^2 \cdot \sqrt{10} a^2} = \dfrac{9}{3 \sqrt{10}} = \dfrac{3}{\sqrt{10}}$
Suy ra $\theta \approx 60^\circ$
Chọn B.
Đáp án là B