a: Xét ΔSAD có

M,N lần lượt là trung điểm của SA,SD

=>MN là đường trung bình của ΔSAD

=>MN//AD

Ta có: MN//AD

AD\(\subset\)(ABCD)

MN không nằm trong mp(ABCD)

Do đó: MN//(ABCD)

b: Xét ΔDSB có

O,N lần lượt là trung điểm của DB,DS

=>ON là đường trung bình của ΔDSB

=>ON//SB và \(ON=\dfrac{SB}{2}\)

Ta có: ON//SB

ON\(\subset\)(OMN)

SB không thuộc mp(OMN)

Do đó: SB//(OMN)

c: Xét ΔASC có

O,M lần lượt là trung điểm của AC,AS

=>OM là đường trung bình của ΔASC

=>OM//SC

Ta có: OM//SC

OM\(\subset\)(OMN)

SC không nằm trong mp(OMN)

Do đó: SC//(OMN)

Ta có: SB//(OMN)

SC//(OMN)

SB,SC cùng thuộc mp(SBC)

Do đó: (SBC)//(OMN)

S A B C D O M N P H K

a/

Xét tg SAD có

SM=DM; SN=AN => MN là đường trung bình của tg SAD

=> MN//AD

Mà AD//BC (cạnh đối hbh)

=> MN//BC mà \(BC\in\left(SBC\right)\) => MN//(SBC)

C/m tương tự ta cũng có NP//(SCD)

b/

Ta có

NP//(SCD) (cmt) (1)

Xét tg SBD có

SP=BP (gt)

OB=OD (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> PO là đường trung bình của tg SBD

=> PO//SD mà \(SD\in\left(SCD\right)\) => PO//(SCD) (2)

Từ (1) và (2) => (ONP)//(SCD)

C/m tương tự ta cũng có (OMN)//(SBC)

c/

Trong (ABCD) , qua O dựng đường thẳng // AD cắt AB và CD lần lượt tại H và K Ta có

MN//AD (cmt)

=> KH//MN

\(O\in\left(OMN\right);O\in KH\)

\(\Rightarrow KH\in\left(OMN\right)\) mà \(H\in AB;K\in CD\)

=>K; H là giao của (OMN) với CD và AB

d/

Ta có

KH//AD

AB//CD => AH//DK

=> AHKD là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

=> AD=HK

Ta có

MN là đường trung bình của tg SAD (cmt)

\(\Rightarrow MN=\dfrac{AD}{2}\) mà AD=HK (cmt)

\(\Rightarrow MN=\dfrac{HK}{2}\Rightarrow\dfrac{MN}{HK}=\dfrac{1}{2}\)

a) \(O\) là trung điểm của \(AC\) (theo tính chất hình bình hành)

\(M\) là trung điểm của \(SA\)

\( \Rightarrow OM\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow OM\parallel SC\\SC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow OM\parallel \left( {SBC} \right)\)

\(O\) là trung điểm của \(B{\rm{D}}\) (theo tính chất hình bình hành)

\(N\) là trung điểm của \(SD\)

\( \Rightarrow ON\) là đường trung bình của tam giác \(SB{\rm{D}}\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow ON\parallel SB\\SB \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow ON\parallel \left( {SBC} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}OM\parallel \left( {SBC} \right)\\ON\parallel \left( {SBC} \right)\\OM,ON \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {OMN} \right)\parallel \left( {SBC} \right)\)

b) \(O\) là trung điểm của \(AC\) (theo tính chất hình bình hành)

\(E\) là trung điểm của \(AB\)

\( \Rightarrow OE\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow OE\parallel BC\\BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow OE\parallel \left( {SBC} \right)\)

Do \(\left( {OMN} \right)\parallel \left( {SBC} \right)\) nên \(E \in \left( {OMN} \right)\)

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}EF \subset \left( {OMN} \right)\\\left( {OMN} \right)\parallel \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow EF\parallel \left( {SBC} \right)\)

a.

Do M là trung điểm SA, O là trung điểm AC

\(\Rightarrow OM\) là đường trung bình tam giác SAC \(\Rightarrow OM||SC\Rightarrow OM||\left(SBC\right)\) (1)

N là trung điểm CD, O là trung điểm AC \(\Rightarrow ON\) là đường trung bình ACD

\(\Rightarrow ON||AD\Rightarrow ON||BC\Rightarrow ON||\left(SBC\right)\) (2)

Mà \(ON\cap OM=O\)  ; \(OM;ON\in\left(OMN\right)\) (3)

(1);(2);(3) \(\Rightarrow\left(OMN\right)||\left(SBC\right)\)

b.

J cách đều AB, CD \(\Rightarrow J\) thuộc đường thẳng d qua O và song song AB, CD

- Nếu J trùng O \(\Rightarrow OI\) là đường trung bình tam giác SBD \(\Rightarrow OI||SB\Rightarrow OI||\left(SAB\right)\)

Hay \(IJ||\left(SAB\right)\)

- Nếu J không trùng O, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}IO||SB\left(đtb\right)\Rightarrow IO||\left(SAB\right)\\d||AB\Rightarrow IJ||AB\Rightarrow OJ||\left(SAB\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(OIJ\right)||\left(SAB\right)\Rightarrow IJ||\left(SAB\right)\)

a.

Do M là trung điểm SA, O là trung điểm AC

$\Rightarrow OM$ là đường trung bình tam giác SAC $\Rightarrow OM||SC\Rightarrow OM||\left(SBC\right)$ (1)

N là trung điểm CD, O là trung điểm AC $\Rightarrow ON$ là đường trung bình ACD

$\Rightarrow ON||AD\Rightarrow ON||BC\Rightarrow ON||\left(SBC\right)$ (2)

Mà $ON\cap OM=O$  ; $OM;ON\in \left(OMN\right)$ (3)

(1);(2);(3) $\Rightarrow \left(OMN\right)||\left(SBC\right)$

b.

J cách đều AB, CD $\Rightarrow J$ thuộc đường thẳng d qua O và song song AB, CD

- Nếu J trùng O $\Rightarrow OI$ là đường trung bình tam giác SBD $\Rightarrow OI||SB\Rightarrow OI||\left(SAB\right)$

Hay $IJ||\left(SAB\right)$

- Nếu J không trùng O, ta có {��∣∣��(đ��)⇒��∣∣(���)�∣∣��⇒��∣∣��⇒��∣∣(���){IO∣∣SB(đtb)⇒IO∣∣(SAB)d∣∣AB⇒IJ∣∣AB⇒OJ∣∣(SAB)​

$\Rightarrow \left(OIJ\right)||\left(SAB\right)\Rightarrow IJ||\left(SAB\right)$

a: Ta có: \(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

\(CN=ND=\frac{CD}{2}\)

mà AB=CD

nên AM=MB=CN=ND

Xét tứ giác AMND có

AM//ND

AM=ND

Do đó: AMND là hình bình hành

=>MN//AD

=>MN//(SAD)

MN//AD

AD//BC

Do đó: MN//BC

=>MN//(SBC)

c: Xét ΔABS có

M,I lần lượt là trung điểm của AB,AS
=>MI là đường trung bình của ΔABS

=>MI//SB

=>SB//(IMN)

a: ABCD là hình bình hành tâm O

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔSBD có

O,N lần lượt là trung điểm của DB,DS

=>ON là đường trung bình của ΔSBD

=>ON//SB và \(ON=\frac12SB\)

ON//SB

=>ON//(SBC)

Xét ΔSAC có

M,O lần lượt là trung điểm của AS,AC

=>MO là đường trung bình của ΔSAC

=>MO//SC và \(MO=\frac{SC}{2}\)

MO//SC

=>MO//(SBC)

ON//(SBC)

OM//(SBC)

mà ON,OM cùng thuộc mp(OMN)

nên (OMN)//(SBC)

1: Xét (SBC) và (SAD) có

S∈(SBC) giao (SAD)

BC//AD

Do đó: (SBC) giao (SAD)=xy, xy đi qua S và xy//BC//AD
2: Ta có: \(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

\(CN=ND=\frac{CD}{2}\)

mà AB=CD
nên AM=MB=CN=ND

Xét tứ giác AMND có

AM//ND

AM=ND

Do đó: AMND là hình bình hành

=>MN//AD

mà AD⊂(SAD)

nên MN//(SDA)

Ta có: MN//AD

AD//BC

Do đó: MN//BC

mà BC⊂(SBC)

nên MN//(SBC)

3: Chọn mp(SAD) có chứa SD

I∈SA⊂(SAD)

I∈(INM)

Do đó: I∈(SAD) giao (INM)

Xét (SAD) giao (INM) có

I∈(SAD) giao (INM)

AD//MN

Do đó: (SAD) giao (MIN)=xy, xy đi qua I và xy//AD//MN

Gọi K là giao điểm của xy và SD

=>K là giao điểm của SD và (INM)

4: Xét ΔSAB có

I,M lần lượt là trung điểm của AS,AB

=>IM là đường trung bình của ΔSAB

=>IM//SB

=>SB//(IMN)

a.

O là trung điểm BD, N là trung điểm CD

\(\Rightarrow\) ON là đường trung bình tam giác BCD

\(\Rightarrow ON||BC\Rightarrow ON||\left(SBC\right)\)

Tương tự ta có OM là đtb tam giác SAC \(\Rightarrow OM||SC\Rightarrow OM||\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow\left(OMN\right)||\left(SBC\right)\)

b.

Trong mp (SCD), qua E kẻ đường thẳng song song SD cắt SC tại G

\(\Rightarrow EG||SD\Rightarrow EG||\left(SAD\right)\) (1)

Theo định lý Talet: \(\dfrac{EC}{ED}=\dfrac{GC}{GS}\)

Mặt khác AE là phân giác của ACD nên theo định lý phân giác: \(\dfrac{EC}{ED}=\dfrac{AC}{AD}\)

Mà ABC cân tại A \(\Rightarrow AB=AC\); SAD cân tại A \(\Rightarrow AD=SA\)

\(\Rightarrow\dfrac{GC}{GS}=\dfrac{EC}{ED}=\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{AB}{SA}\)

AF là phân giác nên áp dụng định lý phân giác:

\(\dfrac{FB}{FS}=\dfrac{AB}{SA}\) \(\Rightarrow\dfrac{FB}{FS}=\dfrac{GC}{GS}\Rightarrow FG||BC\) (Talet đảo) 

\(\Rightarrow FG||AD\Rightarrow FG||\left(SAD\right)\) (2)

(1);(2)  \(\Rightarrow\left(EFG\right)||\left(SAD\right)\Rightarrow EF||\left(SAD\right)\)