Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,2a,0), C(a,2a,0)$.
Đỉnh $S$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 2a$, nên $S = (0,0,2a)$.
Gọi $M$ là điểm trên cạnh $AB$ với $AM = x$, $0 < x < a$: $M = (x,0,0)$.
Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và vuông góc với $AB$ có phương trình: $x = x$.
a. Tìm thiết diện
Thiết diện là giao tuyến của mặt phẳng $x=x$ với các cạnh của chóp:
- Giao với $AB$: $Q = (x,0,0)$
- Giao với $SB$: Vector $SB = B-S = (a,0,-2a)$, tham số $t$: $S + t SB = (0,0,2a) + t(a,0,-2a) = (at,0,2a-2a t)$
Yêu cầu $x = at \Rightarrow t = x/a$, khi đó $z = 2a - 2x$, nên giao điểm $P = (x,0,2a-2x)$
- Giao với $SC$: Vector $SC = C-S = (a,2a,-2a)$, tham số $t$: $S + t SC = (0,0,2a) + t(a,2a,-2a) = (at, 2a t, 2a-2a t)$
Yêu cầu $x = at \Rightarrow t = x/a$, khi đó $y = 2x$, $z = 2a - 2x$. Do hình thang vuông nên $y$ tối đa là $2a$ ⇒ lấy $R = (x,2a,0)$
Vậy thiết diện là tam giác $PQR$ với $P = (x,0,2a-2x)$, $Q = (x,0,0)$, $R = (x,2a,0)$.
b. Tính diện tích thiết diện
Vector $\vec{PQ} = Q-P = (0,0,0-(2a-2x)) = (0,0,2x-2a)$
Vector $\vec{PR} = R-P = (0,2a,0-(2a-2x)) = (0,2a,2x-2a)$
Diện tích tam giác: $S = \dfrac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$
Tích có hướng:
$\vec{PQ} \times \vec{PR} = (-4a(a-x), 0, 0)$
Độ lớn: $|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = 4a(a-x)$
Vậy diện tích: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 a (a-x) = 2 a (a-x)$
