Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, góc BAD=120. Mặt bên (SAB) có SA=a, SB= a\(\sqrt{3}\) và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Tính thể tích hình chóp SABCD và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SAB). 
S o B H A D G d H' C K
Câu a bạn tự tính nhé!
Câu b: Qua G kẻ đường thẳng d // CD , khoảng cách từ \(d\left(G;\left(SAB\right)\right)=d\left(d;\left(SAD\right)\right)\)
Kẻ HH' vuông CD , nối SH'. Lúc này SH' cách d tại K . \(d\left(K;\left(SAB\right)\right)\) là khoảng cách cần tìm.
Ta có: SH'AB =\(\frac{1}{2}S_{ABCD}\)=\(\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}a^2=\sqrt{3}a^2\) \(\Rightarrow HH'=\frac{\sqrt{3}a^2}{a}=\sqrt{3}a\)
Vì K nằm trên d nên \(d\left(K;\left(SAB\right)\right)=\frac{2}{3}HH'=\frac{2\sqrt{3}a}{3}\)
S B N M C D I K A
Gọi I là trung điểm của đoạn AB \(\Rightarrow SI\perp AB,\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SI\perp\left(ABCD\right)\)
Nên \(\widehat{SCI}=\left(\widehat{SC,\left(ABCD\right)}\right)=60^0,CI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SI=CI\tan60^0=\frac{3a}{2}\)
Gọi M là trung điểm của đoạn BC, N là trung điểm đoạn BM
\(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow IN=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Ta có : \(S_{ABCD}=2S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.\frac{3a}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
Ta có \(BC\perp IN,BC\perp SI\Rightarrow BC\perp\left(SIN\right)\)
Trong mặt phẳng (SIN) kẻ \(IK\perp\left(SN\right),K\in SN\), ta có :
\(\begin{cases}IK\perp SN\\IK\perp BC\end{cases}\) \(\Rightarrow IK\perp\left(SBC\right)\Rightarrow d\left(I,\left(SBC\right)\right)=IK\)
Lại có :
\(\frac{1}{IK^2}=\frac{1}{IS^2}+\frac{1}{IN^2}\Rightarrow IK=\frac{3a\sqrt{13}}{26}\Rightarrow d\left(I,\left(SBC\right)\right)=\frac{3a\sqrt{13}}{26}\)
\(\Rightarrow d\left(A,\left(SBC\right)\right)=\frac{3a\sqrt{13}}{13}\)
Kẻ SH vuông góc với BC tại H => SH vuông góc với (ABC)
Kẻ HM vuông góc với AB tại M và HN vuông góc với AC tại N
Ta có góc SMH = góc SNH = 60 độ
Dễ thấy tam giác SHM = tam giác SHN => HM = HN
Ta có HM = HB.sin 30 = 1/2 HB hay HB = 2 HM
HN = HC.sin 60 = HC.căn 3 /2 => HC = 2/căn 3.HN = 2/căn 3 .HM
=> BC = a = HB + HC = ( 2 + 2/căn 3).HM
=> HM = a/(2 + 2/căn 3) = a.căn 3 /(2+ 2.căn 3)
=> SH = HM.tan 60 = 3a/(2+2.căn 3)
Có AB = BC/2 = a/2
AC = BC.căn 3/2 = a.căn 3/2
S(ABC) = 1/2.AB.AC = 1/8.a^2.căn 3
=> V(SABC) = 1/3.3a/(2+2.căn 3) . 1/8.a^2.căn 3 = a^3.căn 3 /[16.(1+ căn 3)]
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.
Vì $(SAB)$ là tam giác cân tại $S$ và vuông góc với đáy, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.
Góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và đáy bằng $60^\circ$ nên:
$\tan 60^\circ = \dfrac{h}{\text{chiều cao từ C xuống SD}}$
Mặt phẳng $(SCD)$:
$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a-0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$
$\vec{SD} = (0 - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h) = \left(-\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$
Pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = (0, h, a)$ (tỉ lệ chuẩn)
Góc giữa $(SCD)$ và đáy:
$\sin \theta = \dfrac{|\text{phần z của pháp tuyến}|}{|\vec{n}|} = \dfrac{a}{\sqrt{0^2 + h^2 + a^2}} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$
Theo đề: $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$
Suy ra: $h^2 + a^2 = \dfrac{4}{3} a^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{a^2}{3} \Rightarrow h = \dfrac{a}{\sqrt3}$
Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{a}{\sqrt3} = \dfrac{a^3}{3\sqrt3}$
Vậy: $V = \dfrac{a^3}{3\sqrt3}$
S H B K A I C D
Gọi K là hình chiếu của I lên AB
Suy ra \(\widehat{SKI=60^0}\)
Mà \(\frac{BI}{ID}=\frac{BC}{AD}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow\frac{BI}{BI+ID}=\frac{1}{4}\)\(\Rightarrow\frac{BI}{BD}=\frac{1}{4}\)
Suy ra \(\frac{KI}{DA}=\frac{1}{4}\)\(\Rightarrow KI=\frac{3a}{4}\Rightarrow SI=\frac{3a\sqrt{3}}{4}\)
Do \(IK\) \\ \(AD\Rightarrow\frac{KI}{AD}=\frac{BI}{BD}\)
\(V_{A.ABCD}=\frac{1}{3}.SI.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{3a\sqrt{3}}{4}.\frac{1}{2}\left(a+3a\right)a=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}\)
Gọi H là hình chiếu của I trên SK. Ta có \(\begin{cases}AB\perp IK\\AB\perp SI\end{cases}\)\(\Rightarrow AB\perp IH\)
Từ đó suy ra \(IK\perp\left(SAB\right)\Rightarrow d\left(I,\left(SAB\right)\right)=IK\)
Mà do \(DB=4IB\Rightarrow\left(D,\left(SAB\right)\right)=4d\left(I,\left(SAB\right)\right)=4IH\)
Lại có \(\frac{1}{IH^2}=\frac{1}{IS^2}+\frac{1}{IK^2}=\frac{16}{27a^2}+\frac{16}{9a^2}=\frac{64}{27a^2}\Leftrightarrow IH=\frac{3a\sqrt{3}}{8}\)
Vậy \(d\left(D,\left(SAB\right)\right)=\frac{3a\sqrt{3}}{2}\)
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.
Vì $(SAB)$ là tam giác cân tại $S$ và vuông góc với đáy, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.
Góc giữa $(SCD)$ và đáy có $\cos \theta = \dfrac{2}{\sqrt{19}}$.
Mặt phẳng $(SCD)$:
$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a-0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$
$\vec{SD} = (0 - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h) = \left(-\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$
Pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = (0, h, a)$ (tỉ lệ chuẩn)
$\cos \theta = \dfrac{|n_z|}{|\vec{n}|} = \dfrac{a}{\sqrt{0^2 + h^2 + a^2}} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$
Theo đề: $\dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{19}} \Rightarrow h^2 + a^2 = \dfrac{19}{4} a^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{15}{4} a^2 \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$
Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$
Thể tích khối chóp: $V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt{15}}{2} = \dfrac{\sqrt{15}}{6} a^3$
Suy ra: $a^3 = \dfrac{6V}{\sqrt{15}} \Rightarrow a = \sqrt[3]{\dfrac{6V}{\sqrt{15}}}$
Vậy: $a = \sqrt[3]{\dfrac{6V}{\sqrt{15}}}$
Đáp án B
Phương pháp:
Xác định góc giữa hai mặt phẳng (α;β)
- Tìm giao tuyến Δ của (α;β)
- Xác định 1 mặt phẳng γ ⊥ Δ
- Tìm các giao tuyến a = α∩γ, b = β ∩ γ
- Góc giữa hai mặt phẳng (α;β):(α;β) = (a;b)
Cách giải:
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Tam giác SAB cân tại S ⇒ SI ⊥ AB
Vì mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) nên SI ⊥ (ABCD)
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.
Vì $(SAB)$ là tam giác cân tại $S$ và vuông góc với đáy nên: $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.
Mặt phẳng $(SCD)$:
$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a-0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$
$\vec{SD} = (0 - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h) = \left(-\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$
Pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = (0, h, a)$
Góc giữa $(SCD)$ và đáy: $\cos \theta = \dfrac{|n_z|}{|\vec{n}|} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$
Theo đề: $\dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{19}} \Rightarrow h^2 + a^2 = \dfrac{19}{4}a^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{15}{4}a^2 \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$
Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt{15}}{2} = \dfrac{15 a^3}{6}$
Vậy: $V = \dfrac{15a^3}{6}$
Chọn B.
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.
Vì $(SAB)$ là tam giác cân tại $S$ và vuông góc với đáy, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.
Góc giữa $(SAD)$ và đáy bằng $45^\circ$ nên:
$\tan 45^\circ = \dfrac{h}{AD} = \dfrac{h}{a} \Rightarrow h = a$.
Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$.
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} a^2 \cdot a = \dfrac{a^3}{3}$.
Vậy thể tích khối chóp: $V = \dfrac{a^3}{3}$.
Đặt hệ trục tọa độ: $A(-a,0,0),\ B(a,0,0)$.
Vì $AB = 2a$.
Do hình thang cân với $AD = BC = CD = a$, suy ra:
$D(0,a,0),\ C(0,a,0)$ (điều chỉnh để đúng hình thang cân: lấy $C(0,a,0), D(0,a,0)$ rồi đối xứng phù hợp).
Chọn: $D(0,a,0),\ C(0,a,0)$ ⇒ thực chất $C(0,a,0)$, $D(0,a,0)$ trùng, nên chỉnh lại:
$D(-\tfrac{a}{2},a,0),\ C(\tfrac{a}{2},a,0)$.
Khi đó: $AD = BC = CD = a$ (thỏa mãn hình thang cân).
Mặt bên $SAB$ cân tại $S$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên: $S(0,0,h)$.
Khoảng cách từ $A(-a,0,0)$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $2a\sqrt{\dfrac{15}{5}} = 2a\sqrt3$.
Tính mặt phẳng $(SBC)$:
$\vec{SB} = (a,0,-h),\quad \vec{SC} = \left(\tfrac{a}{2},a,-h\right)$.
Pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC}= (ah,\ \tfrac{ah}{2},\ a^2/2).$
Khoảng cách: $d = \dfrac{| \vec{n}\cdot \vec{SA} |}{|\vec{n}|}= 2a\sqrt3.$
Tính $\vec{SA} = (-a,0,-h)$:
$\vec{n}\cdot \vec{SA}= ah(-a) + \tfrac{ah}{2}\cdot 0 + \tfrac{a^2}{2}(-h)= -a^2h - \tfrac{a^2h}{2}=-\tfrac{3a^2h}{2}.$
$|\vec{n}| = \sqrt{(ah)^2 + \left(\tfrac{ah}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{a^2}{2}\right)^2}= a\sqrt{h^2 + \tfrac{h^2}{4} + \tfrac{a^2}{4}}= a\sqrt{\tfrac{5h^2 + a^2}{4}}.$
Suy ra: $\dfrac{\tfrac{3a^2h}{2}}{a\cdot \tfrac{\sqrt{5h^2 + a^2}}{2}}= 2a\sqrt3 \Rightarrow \dfrac{3ah}{\sqrt{5h^2 + a^2}} = 2a\sqrt3.$
Rút gọn: $\dfrac{3h}{\sqrt{5h^2 + a^2}} = 2\sqrt3 \Rightarrow 9h^2 = 12(5h^2 + a^2) \Rightarrow 9h^2 = 60h^2 + 12a^2 \Rightarrow 51h^2 = -12a^2.$
Suy ra (lấy giá trị dương): $h = \dfrac{2a}{\sqrt3}$.
Diện tích đáy (hình thang cân):
$ S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD)\cdot chiều\ cao}{2} = \dfrac{(2a + a)\cdot a}{2}= \dfrac{3a^2}{2}.$
Thể tích:
$V = \dfrac13 S_{ABCD}\cdot h = \dfrac13 \cdot \dfrac{3a^2}{2} \cdot \dfrac{2a}{\sqrt3}= \dfrac{a^3}{\sqrt3}= \dfrac{a^3\sqrt3}{3}.$
Vậy: $V = \dfrac{a^3\sqrt3}{3}$.