Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp ván A
Vì I là hình chiếu của S trên (ABCD)
⇒ ( S C → , ( A B C D ) ) = S C I ⏞
⇒ S I = I C . tan 60 ° = a 5 2 . tan 60 ° = a 15 2
Vậy
V S . I B C = V S . A B C D - V S . A I B - V S . I C D = 1 3 . a 15 2 a + 2 a 2 . a - 1 2 . a 2 . 2 a - 1 2 . a 2 . a = a 3 15 8
Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ D(a,0,0),\ B(2a,0,0),\ C(a, a,0)$.
Trung điểm $I$ của $AD$: $I\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$.
Hình chiếu của $S$ lên đáy là $I$ ⇒ $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.
Góc giữa $SC$ và đáy là $60^\circ$:
$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a - 0, -h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$
Chiều cao $h$ được xác định từ:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SI}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + a^2 + h^2}}$
$\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\frac{5a^2}{4} + h^2}}$
Giải ra:
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\frac{5a^2}{4} + h^2} \Rightarrow 3\left(\frac{5a^2}{4} + h^2\right) = 4 h^2$
$ \Rightarrow \dfrac{15a^2}{4} + 3h^2 = 4 h^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{15a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$
Thể tích khối chóp $S.IBC$:
$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\triangle IBC} \cdot SI$
Tính diện tích $\triangle IBC$:
$\vec{IB} = (2a - \frac{a}{2}, 0 - 0, 0) = \left(\frac{3a}{2},0,0\right)$
$\vec{IC} = (a - \frac{a}{2}, a - 0, 0) = \left(\frac{a}{2},a,0\right)$
$S_{\triangle IBC} = \dfrac{1}{2} |\vec{IB} \times \vec{IC}|$
$\vec{IB} \times \vec{IC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{3a}{2} & 0 & 0 \ \frac{a}{2} & a & 0 \end{vmatrix} = (0,0, \frac{3a^2}{2})$
$S_{\triangle IBC} = \dfrac{1}{2} \cdot \frac{3a^2}{2} = \dfrac{3a^2}{4}$
Chiều cao: $SI = h = \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$
$V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3a^2}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt{15}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{8}$
Đáp án C
Gọi M là trung điểm cuả AD. Ta có: B C = A M = a và B C / / A M
nên tứ giác ABCM là hình bình hành
⇒ C M = A B = a ⇒ Δ C D M đều. Gọi K là hình chiếu của C lên AD.
Ta có: C K = a 2 − a 2 2 = a 3 2 .
Diện tích hình thang ABCD là: S = a + 2 a . a 3 2 2 = 3 a 2 3 4
+) Lại có:
H D = 3 2 .2 a = 3 a 2 ⇒ S H = 3 a 2
Thể tích khối chóp S.ABCD là:
V = 1 3 S H . S A B C D = 1 3 . 3 a 2 . 3 a 2 3 4 = 3 a 3 3 8 .
Đáp án B
Dễ thấy 
Gọi H là trung điểm của AB 
Tam giác MHN vuông tại H, có 
Tam giác MHC vuông tại H, có 
Tam giác MNC, có
c
o
s
M
N
C
^
Vậy cos(MN;(SAC)) = sin M N C ^ = 1 - cos 2 M N C ^ = 55 10
Ta có S C D ∩ A B C D = C D
C D ⊥ S A C D ⊥ A C ⇒ C D ⊥ S A C ⇒ S C ⊥ C D
Vì S C ⊥ C D , S C ⊂ S C D A C ⊥ C D , A C ⊂ A B C D
Nên S C D , A B C D ^ = S C A ^ = 45 o
Dễ thấy ∆ S A C vuông cân tại A
Suy ra SA = AC = a 2
Lại có
S M C D = 1 2 M C . M D = 1 2 a . a = a 2 2
Do đó
V = V S . M C D = 1 3 S M C D S A = 1 3 . a 2 2 . a 2 = a 3 2 6
Ta có
B D ∥ M N M N ⊂ S M N ⇒ B D ∥ S M N
Khi đó d( SM,BD ) = d( SM, (SMN) ) = d( D, (SMN) ) = d( A, ( SMN) )
Kẻ A P ⊥ M N , P ∈ M N A H ⊥ S P , H ∈ S P
Suy ra A H ⊥ S M N ⇒ d A S M N = A H
∆ S A P vuông tại A có
1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A P 2 = 1 S A 2 + 1 A N 2 + 1 A M 2 = 1 2 a 2 + 1 a 2 4 + 1 a 2 = 11 2 a 2
Do đó d = d( SM, BD ) = AH = a 22 11
Đáp án A