a) Tìm thiết diện :

Trong mp(ABCD), gọi F = AD ∩ PN và E = AB ∩ PN

Trong mp(SAD), gọi Q = MF ∩ SD

Trong mp(SAB), gọi R = ME ∩ SB

Nối PQ, NR ta được các đoạn giao tuyến của mp(MNP) với các mặt bên và mặt đáy của hình chóp là MQ, QP, PN, NR, RM

Vậy thiết diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) là ngũ giác MQPNR.

b) Tìm SO ∩ (MNP). Gọi H là giao điểm của AC và PN .

Trong (SAC), SO ∩ MH = I

Vậy I = SO ∩ (MNP).

Trong mp (ABCD), nối NP kéo dài cắt AD tại G

Trong mp (SAD), nối MG cắt SD tại Q

\(\Rightarrow Q=SD\cap\left(MNP\right)\)

b.

Trong mp (ABCD), gọi E là giao điểm NP và AC

Trong mp (SAC), nối ME cắt SO tại F

\(\Rightarrow F=SO\cap\left(MNP\right)\)

Gọi Q là trung điểm SB

Khi đó PQ||AB||MN

Mà \(P\in mp\left(MNP\right)\)

=> \(Q\in mp\left(MNP\right)\)

Khi đó tứ giác MNPQ là thiết diện cần tìm

Trong mp(ABCD), gọi I là giao điểm của MN và AC, E là giao điểm của MN và BC, F là giao điểm của MN và DC

M∈(MNP); M∈AB⊂(ABCD)

Do đó: M∈(MNP) giao (ABCD)(1)

N∈AD⊂(ABCD), N∈(MNP)

Do đó; N∈(MNP) giao (ABCD)(2)

Từ (1),(2) suy ra (MNP) giao (ABCD)=MN

P∈SC⊂(SBC), P∈(MNP)

Do đó: P∈(SBC) giao (MNP)(3)

E∈MN⊂(MNP); E∈BC⊂(SBC)

Do đó: E∈(MNP) giao (SBC)(4)

Từ (3),(4) suy ra (SBC) giao (MNP)=PE

Gọi Q là giao điểm của EP và SB

=>Q là giao điểm của SB và mp(MNP)

F∈MN⊂(MNP); F∈CD⊂(SCD)

Do đó: F∈(MNP) giao (SCD)(5)

P∈(MNP); P∈SC⊂(SCD)(6)

Từ (5),(6) suy ra (MNP) giao (SCD)=FP

Gọi R là giao điểm của PF và SD

=>R là giao điểm của SD và mp(MNP)

Q∈EP⊂(MNP); Q∈EB∈(SAB)

Do đó: Q∈(MNP) giao (SAB)(7)

M∈AB⊂(SAB); M∈(MNP)

=>M∈(SAB) giao (MNP)(8)

Từ (7),(8) suy ra (SAB) giao (MNP)=MQ

R∈PP⊂(MNP); R∈SD∈(SAD)

Do đó: R∈(MNP) giao (SAD)(9)

N∈AD⊂(SAD); N∈(MNP)

=>N∈(SAD) giao (MNP)(10)

Từ (9),(10) suy ra (SAD) giao (MNP)=RN

Trong tam giác SBD, MN là đường trung bình \(\Rightarrow MN||BD\)

\(\Rightarrow MN||\left(ABCD\right)\)

Trong mp (ABCD), qua E kẻ đường thẳng song song BD cắt BC tại F và cắt AD kéo dài tại G

Trong mp (SAD), nối GN kéo dài cắt SA tại P

Ngũ giác PNEFM là thiết diện của (MNE) và chóp