a) Dễ thấy S là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Ta có:

⇒ (SAD) ∩ (SBC) = Sx

Và Sx // AD // BC.

b) Ta có: MN // IA // CD

Mà  

(G là trọng tâm của ∆SAB) nên 

 ⇒ GN // SC

SC ⊂ (SCD) ⇒ GN // (SCD)

c) Giả sử IM cắt CD tại K ⇒ SK ⊂ (SCD)

MN // CD ⇒

Ta có:

Trong mp(ABD), Gọi K là giao điểm của BN và AD

Xét ΔBAD có

N là trọng tâm

K là giao điểm của BN và AD

DO đó: K là trung điểm của AD

Xét ΔBAD có

N là trọng tâm

BK là đường trung tuyến

Do đó: \(BN=\frac23BK\)

Ta có: SM+MB=SB

=>MB=SB-SM=3SM-SM=2SM

=>\(\frac{BM}{BS}=\frac{2MS}{3MS}=\frac23\)

Xét ΔBKS có \(\frac{BN}{BK}=\frac{BM}{BS}\left(=\frac23\right)\)

nên MN//SK

mà SK⊂(SAD) và MN không thuộc mp(SAD)

nên MN//(SAD)

Trong mp(SDC), gọi F là giao điểm của CG và SD

Xét ΔSDC có

G là trọng tâm

F là giao điểm của CG và SD

Do đó: F là trung điểm của SD

Xét ΔSCD có

F là trung điểm của SD

G là trọng tâm

Do đó: \(CG=\frac23CF\)

=>CG=2GF

Trong mp(ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔDAB có

N là trọng tâm

O là trung điểm của BD

Do đó: A,N,O thẳng hàng

=>\(AN=\frac23AO=\frac23OC;ON=\frac13OA=\frac13OC\)

Vì A,N,O thẳng hàng

và A,O,C thẳng hàng

nên A,N,O,C thẳng hàng

\(NC=NO+OC\)

\(=\frac13AO+AO=\frac43AO\)

=>\(\frac{CN}{NA}=\frac{\frac43AO}{\frac23AO}=\frac43:\frac23=2\)

Xét ΔCAF có \(\frac{CN}{NA}=\frac{CG}{GF}\left(=2\right)\)

nên GN//AF

mà AF⊂(SAD)

và GN không thuộc mp(SAD)

nên GN//(SAD)

Gọi F là trung điểm SD \(\Rightarrow\dfrac{GF}{GA}=\dfrac{1}{2}\) theo t/c trọng tâm

Trong mp (SAD), qua G kẻ đường thẳng song song SD cắt AD tại E

\(\Rightarrow GE||SD\Rightarrow GE||\left(SCD\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}GM||\left(SCD\right)\\GE||\left(SCD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(GME\right)||\left(SCD\right)\Rightarrow ME||\left(SCD\right)\Rightarrow ME||CD\)

\(\Rightarrow CDEM\) là hình bình hành (2 cặp cạnh đối song song)

\(\Rightarrow MC=ED\Rightarrow MB=EA\)

Áp dụng định lý Talet trong tam giác ADF: \(\dfrac{ED}{EA}=\dfrac{GF}{GA}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{MC}{MB}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{MAB}}{S_{MAC}}=\dfrac{MB}{MC}=2\)

a) Dễ thấy S là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Ta có:

⇒ (SAD) ∩ (SBC) = Sx

Và Sx // AD // BC.

b) Ta có: MN // IA // CD

Mà  

(G là trọng tâm của ∆SAB) nên 

 ⇒ GN // SC

SC ⊂ (SCD) ⇒ GN // (SCD)

c) Giả sử IM cắt CD tại K ⇒ SK ⊂ (SCD)

MN // CD ⇒

Ta có:

Trong mp(SDA), gọi E là giao điểm của SG với AD

Trong mp(SBC), gọi K là giao điểm của SH với BC

Xét ΔSAD có

G là trọng tâm của ΔSAD
E là giao điểm của SG với AD

Do đó: E là trung điểm của AD

Xét ΔSBC có

H là trọng tâm của ΔSBC

SH cắt BC tại K

Do đó: K là trung điểm của BC

Xét hình thang ABCD(AB//CD) có

E,K lần lượt là trung điểm của AD,BC

=>EK là đường trung bình

=>EK//AB

Xét ΔSDE có

SE là đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: \(\dfrac{SG}{SE}=\dfrac{2}{3}\)

Xét ΔSBC có

H là trọng tâm của ΔSBC

SK là đường trung tuyến

Do đó: \(\dfrac{SH}{SK}=\dfrac{2}{3}\)

Xét ΔSEK có \(\dfrac{SG}{SE}=\dfrac{SH}{SK}\left(=\dfrac{2}{3}\right)\)

nên GH//EK

mà EK//AB

nên GH//AB

Ta có: GH//AB

AB\(\subset\)(SAB)

GH không nằm trong mp(SAB)

Do đó: GH//(SAB)

a) Dễ thấy S là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Ta có:

⇒ (SAD) ∩ (SBC) = Sx

Và Sx // AD // BC.

b) Ta có: MN // IA // CD

Mà  

(G là trọng tâm của ∆SAB) nên 

 ⇒ GN // SC

SC ⊂ (SCD) ⇒ GN // (SCD)

c) Giả sử IM cắt CD tại K ⇒ SK ⊂ (SCD)

MN // CD ⇒

Ta có:

a: Chọn mp(SAB) có chứa MN

Ta có: \(AB\subset\left(SAB\right)\)

\(AB\subset\left(ABCD\right)\)

Do đó: \(\left(SAB\right)\cap\left(ABCD\right)=AB\)

Gọi P là giao điểm của MN với AB

=>P là giao điểm của MN với mp(ABCD)

b: Ta có: SN+NB=SB

=>2NB+NB=SB

=>SB=3NB

=>\(\dfrac{SN}{SB}=\dfrac{2}{3}\)

Xét ΔSBA có P,M,N thẳng hàng

nên \(\dfrac{PB}{PA}\cdot\dfrac{MA}{MS}\cdot\dfrac{NS}{NB}=1\)

=>\(\dfrac{PB}{PA}\cdot1\cdot2=1\)

=>\(\dfrac{PB}{PA}=\dfrac{1}{2}\)

=>B là trung điểm của AP

Trong mp(ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔAPC có

B,O lần lượt là trung điểm của AP,AC

=>BO là đường trung bình của ΔAPC

=>BO//PC

=>BD//PC

Ta có: PC//BD

BD\(\subset\)(SBD)

PC không nằm trong mp(SBD)

Do đó: PC//(SBD)

a.

O là trung điểm BD, N là trung điểm CD

\(\Rightarrow\) ON là đường trung bình tam giác BCD

\(\Rightarrow ON||BC\Rightarrow ON||\left(SBC\right)\)

Tương tự ta có OM là đtb tam giác SAC \(\Rightarrow OM||SC\Rightarrow OM||\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow\left(OMN\right)||\left(SBC\right)\)

b.

Trong mp (SCD), qua E kẻ đường thẳng song song SD cắt SC tại G

\(\Rightarrow EG||SD\Rightarrow EG||\left(SAD\right)\) (1)

Theo định lý Talet: \(\dfrac{EC}{ED}=\dfrac{GC}{GS}\)

Mặt khác AE là phân giác của ACD nên theo định lý phân giác: \(\dfrac{EC}{ED}=\dfrac{AC}{AD}\)

Mà ABC cân tại A \(\Rightarrow AB=AC\); SAD cân tại A \(\Rightarrow AD=SA\)

\(\Rightarrow\dfrac{GC}{GS}=\dfrac{EC}{ED}=\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{AB}{SA}\)

AF là phân giác nên áp dụng định lý phân giác:

\(\dfrac{FB}{FS}=\dfrac{AB}{SA}\) \(\Rightarrow\dfrac{FB}{FS}=\dfrac{GC}{GS}\Rightarrow FG||BC\) (Talet đảo) 

\(\Rightarrow FG||AD\Rightarrow FG||\left(SAD\right)\) (2)

(1);(2)  \(\Rightarrow\left(EFG\right)||\left(SAD\right)\Rightarrow EF||\left(SAD\right)\)