Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi I là trung điểm AD \(\Rightarrow SI\perp AD\Rightarrow SI\left(ABCD\right)\Rightarrow d\left(I;\left(ABCD\right)\right)=SI\)
Ta có \(SM\cap\left(ABCD\right)=\left\{B\right\}\) và \(\frac{SB}{MB}=2\) nên \(d\left(M;\left(ABCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(I;\left(ABCD\right)\right)=\frac{1}{2}SI=\frac{1}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
\(S_{CNP}=\frac{1}{2}\cdot CN\cdot CP=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}CD\cdot\frac{1}{2}\cdot BC=\frac{a^2}{8}\)
\(V_{M.CNP}=\frac{1}{3}\cdot d\left(M;\left(ABCD\right)\right)\cdot S_{CNP}=\frac{a^3\sqrt{3}}{96}\)
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0),\ D(0,2a,0)$.
Tam giác $SAD$ đều cạnh $2a$ và $(SAD)\perp(ABCD)$ nên: $S\left(0,a,a\sqrt3\right)$.
Xét khối chóp $S.ABC$.
Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $S,A,B,C$.
Do $A,B,C$ nằm trên mặt phẳng $z=0$ nên: $O(x,y,z)$.
Ta có: $OA^2 = OB^2 = OC^2 = OS^2$.
Từ $OA = OB$: $x = \dfrac{a}{2}$.
Từ $OB = OC$: $y = \dfrac{a}{2}$.
Suy ra: $O\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2},z\right)$.
Từ $OA = OS$: $\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + z^2= \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}-a\right)^2 + (z - a\sqrt3)^2.$
Giải ra: $z = \dfrac{a\sqrt3}{2}$.
Bán kính: $R = OA = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{3a^2}{4}}= \sqrt{\dfrac{5a^2}{4}}= \dfrac{a\sqrt5}{2}.$
Diện tích mặt cầu: $S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \dfrac{5a^2}{4}= 5\pi a^2.$
Vậy $S = 5\pi a^2$.
D H S M B N C K A P
Gọi H là trung điểm của AD. Do tam giác SAD là tam giác đều nên SH vuông góc với AD
Do mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SH vuông góc với BP(1)
Xét hình vuông ABCD ta có :
\(\Delta CDH=\Delta BCP\Rightarrow CH\perp BP\) (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra \(BP\perp\left(SHC\right)\)
Vì \(\begin{cases}MN||SC\\AN||CH\end{cases}\) \(\Rightarrow\left(AMN\right)||\left(SHC\right)\)
\(\Rightarrow BP\perp\left(AMN\right)\Rightarrow BP\perp AM\)
Kẻ vuông góc với mặt phẳng (ABCD), K thuộc vào mặt phẳng (ABCD), ta có :
\(V_{CMNP}=\frac{1}{3}MK.S_{CNP}\)
Vì \(MK=\frac{1}{2}SH=\frac{a\sqrt{3}}{4};S_{CNP}=\frac{1}{2}CN.CP=\frac{a^2}{8}\)
\(\Rightarrow V_{CMNP}=\frac{\sqrt{3}a^2}{96}\)