Đáp án B

Ta có d(K;(SCD))

Ta có 

Có góc giữa SC và đáy là  nên ta có 

Ta có 

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$

Điểm $H \in AB$ sao cho $HB = 2HA \Rightarrow HA = \dfrac{a}{3}$ ⇒ $H\left(\dfrac{a}{3},0,0\right)$

Vì $H$ là hình chiếu của $S$ nên đặt:

$S\left(\dfrac{a}{3},0,h\right)$

Xét cạnh $SC$:

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{3}, a - 0, -h\right) = \left(\dfrac{2a}{3}, a, -h\right)$

Góc giữa $SC$ và đáy là $60^\circ$:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{\left(\dfrac{2a}{3}\right)^2 + a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{4a^2}{9} + a^2 + h^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{13a^2}{9} + h^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{13a^2}{9} + h^2} \Rightarrow 3\left(\dfrac{13a^2}{9} + h^2\right) = 4h^2$

$\Rightarrow \dfrac{13a^2}{3} + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{13a^2}{3} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$

Trung điểm $K$ của $HC$:

$K\left(\dfrac{\frac{a}{3} + a}{2}, \dfrac{0 + a}{2}, 0\right) = \left(\dfrac{2a}{3}, \dfrac{a}{2}, 0\right)$

Mặt phẳng $(SCD)$:

$\vec{SC} = \left(\dfrac{2a}{3}, a, -h\right),\quad \vec{SD} = \left(-\dfrac{a}{3}, a, -h\right)$

Pháp tuyến:

$\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = (0, ah, a^2)$

Phương trình mặt phẳng $(SCD)$:

$0(x - \dfrac{a}{3}) + ah(y - 0) + a^2(z - h) = 0 \Rightarrow h y + a(z - h) = 0$

$\Rightarrow hy + az - ah = 0$

Khoảng cách từ $K$ đến $(SCD)$:

$d = \dfrac{|h \cdot \dfrac{a}{2} + a \cdot 0 - ah|}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{\left| \dfrac{ah}{2} - ah \right|}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{\dfrac{ah}{2}}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Thay $h^2 = \dfrac{13a^2}{3}$:

$d = \dfrac{a \cdot \dfrac{a\sqrt{13}}{\sqrt{3}}}{2 \sqrt{\dfrac{13a^2}{3} + a^2}} = \dfrac{a^2\sqrt{13/3}}{2 \cdot a\sqrt{16/3}} = \dfrac{a\sqrt{13}}{8}$

ĐÁP ÁN C

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$

Điểm $H \in AB$ sao cho $HB = 2HA \Rightarrow HA = \dfrac{a}{3}$ ⇒ $H\left(\dfrac{a}{3},0,0\right)$

Vì $H$ là hình chiếu của $S$ nên đặt:

$S\left(\dfrac{a}{3},0,h\right)$

Xét cạnh $SC$:

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{3}, a - 0, -h\right) = \left(\dfrac{2a}{3}, a, -h\right)$

Góc giữa $SC$ và đáy là $60^\circ$:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{\left(\dfrac{2a}{3}\right)^2 + a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{4a^2}{9} + a^2 + h^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{13a^2}{9} + h^2}}$

Giải ra: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{13a^2}{9} + h^2} \Rightarrow 3\left(\dfrac{13a^2}{9} + h^2\right) = 4h^2$

$\Rightarrow \dfrac{13a^2}{3} + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{13a^2}{3} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$

Trung điểm $K$ của $HC$:

$K\left(\dfrac{\frac{a}{3} + a}{2}, \dfrac{0 + a}{2}, 0\right) = \left(\dfrac{2a}{3}, \dfrac{a}{2}, 0\right)$

Mặt phẳng $(SCD)$:

$\vec{SC} = \left(\dfrac{2a}{3}, a, -h\right),\quad \vec{SD} = \left(-\dfrac{a}{3}, a, -h\right)$

Pháp tuyến:

$\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = (0, ah, a^2)$

Phương trình mặt phẳng $(SCD)$:

$0(x - \dfrac{a}{3}) + ah(y - 0) + a^2(z - h) = 0 \Rightarrow h y + a(z - h) = 0$

$\Rightarrow hy + az - ah = 0$

Khoảng cách từ $K$ đến $(SCD)$:

$d = \dfrac{|h \cdot \dfrac{a}{2} + a \cdot 0 - ah|}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{\left| \dfrac{ah}{2} - ah \right|}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{\dfrac{ah}{2}}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Thay $h^2 = \dfrac{13a^2}{3}$:

$d = \dfrac{a \cdot \dfrac{a\sqrt{13}}{\sqrt{3}}}{2 \sqrt{\dfrac{13a^2}{3} + a^2}} = \dfrac{a^2\sqrt{13/3}}{2 \cdot a\sqrt{16/3}} = \dfrac{a\sqrt{13}}{8}$

S A B C D H E K F

Ta có

\(SH\perp\left(ABCD\right);SH\in\left(SBD\right)\Rightarrow\left(SBD\right)\perp\left(ABCD\right)\)

Trong mp (ABCD) từ C dựng đường thẳng vuông góc với BD cắt BD tại F ta có

\(SH\perp\left(ABCD\right);CF\in ABCD\Rightarrow SH\perp CF\)

Mà \(CF\perp BD\)

Ta có \(BD\in\left(SBD\right);SH\in\left(SBD\right)\)

\(\Rightarrow CF\perp\left(SBD\right)\) => CF là khoảng cách từ C đến (SBD)

Trong mp (ABCD) nối CH cắt AD tại E

Ta có BC//AD \(\Rightarrow\dfrac{BC}{ED}=\dfrac{HB}{HD}=\dfrac{HC}{HE}=1\Rightarrow ED=BC=\dfrac{3a}{2}\)

\(\Rightarrow EA=AD-ED=3a-\dfrac{3a}{2}=\dfrac{3a}{2}=BC\)

Mà BC//AE và \(\widehat{ABC}=90^o\)

=> ABCE là hình chữ nhật 

Trong mp (ABCD) từ H dựng đường thẳng vuông góc với CD cắt CD tại K

Xét tg vuông CDE có

\(CD=\sqrt{CE^2+ED^2}=\sqrt{4a^2+\dfrac{9a^2}{4}}=\dfrac{5a}{2}\)

Xét tg vuông ABD có

\(BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4a^2+9a^2}=a\sqrt{13}\)

\(\Rightarrow HB=HD=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}\)

Xét tg vuông CKH và tg vuông CED có \(\widehat{ECD}\) chung

=> tg CKH đồng dạng với tg CED (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{CK}{CE}=\dfrac{HC}{CD}\Rightarrow CK=\dfrac{CE.HC}{CD}=\dfrac{2a.a}{\dfrac{5a}{2}}=\dfrac{4a}{5}\)

Xét tg vuông CKH có

\(HK=\sqrt{HC^2-CK^2}=\sqrt{a^2-\dfrac{16a^2}{25}}=\dfrac{3a}{5}\)

Xét tg vuông DKH và tg vuông DFC có \(\widehat{BDC}\) chung

=> tg DKH đồng dạng với tg DFC (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{HK}{CF}=\dfrac{HD}{CD}\Rightarrow CF=\dfrac{HK.CD}{HD}=\dfrac{\dfrac{3a}{5}.\dfrac{5a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{13}}{2}}=\dfrac{3a\sqrt{13}}{13}\)

Do SAB là tam giác đều \(\Rightarrow SH\perp AB\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\\AB=\left(SAB\right)\cap\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)

Gọi E là trung điểm CD, từ H kẻ \(HF\perp SE\) (F thuộc SE)

\(\left\{{}\begin{matrix}HE\perp CD\\SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp CD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SHE\right)\)

\(\Rightarrow CD\perp HF\)

\(\Rightarrow HF\perp\left(SCD\right)\Rightarrow HF=d\left(H;\left(SCD\right)\right)\)

\(HE=BC=a\) ; \(SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều cạnh a)

Hệ thức lượng: 

\(HF=\dfrac{SH.HE}{\sqrt{SH^2+HE^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)

Viết lại đề đi.

Ta có \(\frac{d\left(A,\left(SCD\right)\right)}{d\left(M,\left(SCD\right)\right)}=2\Rightarrow d=\left(m,\left(SCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(A,\left(SCD\right)\right)\)

Dễ thấy AC _|_ CD, SA _|_ CD dựng AH _|_ SA => AH _|_ (SCD)

Vậy d(A,(SCD))=AH

Xét tam giác vuông SAC (A=1v) có \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{AS^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

Vậy suy ra \(d\left(M,\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

$E=AB\cap CD,G=EN\cap SB\Rightarrow G$ là trọng tâm tam giác SAE.

$d\left(M,\left(NCD\right)\right)=\frac{GM}{GB}d\left(B,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(B,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}d\left(A,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{4}d\left(A,\left(NCD\right)\right)=\frac{}{}$

ĐÁP ÁN: A