ĐÁP ÁN: B

ĐÁP ÁN: B

a) Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a nên ta có: AD //BC và AB = BC = CD = a, đồng thời AC ⊥ CD, AB ⊥ BD, AC = BD = a√3.

Như vậy 

Trong mặt phẳng (SAC) dựng AH ⊥ SC tại H ta có AH ⊥ CD và AH ⊥ SC nên AH ⊥ (SCD)

Vậy AH = d(A,(SCD))

Xét tam giác SAC vuông tại A có AH là đường cao, ta có:

Vậy A H 2   =   2 a 2   ⇒   A H   =   a 2

Gọi I là trung điểm của AD ta có BI // CD nên BI song song với mặt phẳng (SCD). Từ đó suy ra d(B, (SCD)) = d(I,(SCD)).

Mặt khác AI cắt (SCD) tại D nên

Do đó: 

b) Vì AD // BC nên AD // (SBC), do đó d(AD, (SBC)) = d(A,(SBC))

Dựng AD ⊥ BC tại E ⇒ BC ⊥ (SAE)

Dựng AD ⊥ SE tại F ta có:

Vậy AF = d(A,(SBC)) = d(AD, (SBC))

Xét tam giác vuông AEB ta có:

Xét tam giác SAE vuông tại A ta có:

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ D(2a,0,0)$ và đường chéo $AD$ nằm trên trục $x$.

Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính $AD=2a$, ta có:

$B(a, a\sqrt{3},0),\ C(2a, a\sqrt{3},0)$ (theo hình học hạ chiều cao từ tam giác đều).

Đỉnh $S$ vuông góc với đáy tại $SA$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{6}$, nên:

$S = (0,0,a\sqrt{6})$.

a) Khoảng cách từ $A$ và $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$:

Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SCD)$:

$\vec{SC} = C-S = (2a, a\sqrt{3}, -a\sqrt{6})$

$\vec{SD} = D-S = (2a,0,-a\sqrt{6})$

$\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\2a & a\sqrt{3} & -a\sqrt{6} \\2a & 0 & -a\sqrt{6}\end{vmatrix} =(-a^2 3\sqrt{3})\mathbf{i} + (0)\mathbf{j} + (-2a^2 \sqrt{18})\mathbf{k} = (-3a^2\sqrt{3},0,-6a^2)$

Phương trình mặt phẳng $(SCD)$:

$\vec{n} \cdot \overrightarrow{SP} = 0 \Rightarrow -3a^2\sqrt{3}(x-0) + 0 + (-6a^2)(z - a\sqrt{6}) = 0$

$\Rightarrow 3\sqrt{3}x + 6(z - a\sqrt{6}) = 0 \Rightarrow z + \dfrac{\sqrt{3}}{2}x - a\sqrt{6} = 0$

Khoảng cách từ $A(0,0,0)$ đến mặt phẳng $(SCD)$:

$d_A = \dfrac{|0 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 0 - a\sqrt{6}|}{\sqrt{(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0 + 1^2}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{\sqrt{\dfrac{3}{4} + 1}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{\sqrt{\dfrac{7}{4}}} = \dfrac{2a\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$

Khoảng cách từ $B(a,a\sqrt{3},0)$ đến mặt phẳng $(SCD)$:

$d_B = \dfrac{|0 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}a - a\sqrt{6}|}{\sqrt{\dfrac{7}{4}}} = \dfrac{| \dfrac{a\sqrt{3}}{2} - a\sqrt{6}|}{\sqrt{7/4}} = \dfrac{|a(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{6})|}{\sqrt{7}/2} = \dfrac{2a|\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{6}|}{\sqrt{7}}$

b) Khoảng cách từ đường thẳng $AD$ đến mặt phẳng $(SBC)$:

Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{SB} = B-S = (a,a\sqrt{3}, -a\sqrt{6})$

$\vec{SC} = C-S = (2a, a\sqrt{3}, -a\sqrt{6})$

$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} =\begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\a & a\sqrt{3} & -a\sqrt{6} \\2a & a\sqrt{3} & -a\sqrt{6}\end{vmatrix} = (0, -a^2\sqrt{6}, -a^2\sqrt{3})$

Phương trình mặt phẳng $(SBC)$:

$0\cdot (x-0) - a^2\sqrt{6}(y-0) - a^2\sqrt{3}(z - a\sqrt{6}) = 0 \Rightarrow \sqrt{6} y + \sqrt{3}(z - a\sqrt{6}) = 0 \Rightarrow z + \sqrt{2} y - a\sqrt{6} = 0$

Khoảng cách từ đường thẳng $AD$: Chọn điểm $A$ và vector $\vec{AD} = (2a,0,0)$

Khoảng cách $d = \dfrac{| \vec{AD} \times \overrightarrow{AP} \cdot \vec{n} |}{|\vec{n} \times \vec{AD}|}$

$\overrightarrow{AP} = S-A = (0,0,a\sqrt{6})$

$\vec{n} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\0 & -\sqrt{6} & -\sqrt{3} \\2 & 0 & 0\end{vmatrix} = (0, -2\sqrt{3}, 2\sqrt{6}) \Rightarrow |\vec{n} \times \vec{AD}| = 2\sqrt{3 + 6} = 2\sqrt{9} = 6$

$(\overrightarrow{AP} \cdot (\vec{n} \times \vec{AD})) = (0,0,a\sqrt{6}) \cdot (0,-2\sqrt{3},2\sqrt{6}) = 2a\sqrt{6}\cdot \sqrt{6} = 12a$

Vậy khoảng cách: $d = \dfrac{12a}{6} = 2a$

+ Xác định góc của SC với (SAD).

Hạ CE ⊥ AD, ta có E là trung điểm AD và CE ⊥ (SAD) nên ∠(CSE) = 30 o .

∠(CSE) cũng chính là góc giữa SC và mp(SAD).

Trong ΔCSE, ta có:

S E   =   C E . tan 60 o   =   a 3   ⇒   S A   =   S E 2 -   A E 2   =   3 a 2   -   a 2   =   a 2 .

Nhận xét

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AE.

Ta có MN // BE nên MN // CD. Như vậy MN // (SCD). Ta suy ra

d(M,(SCD)) = d(N,(SCD)).

Mà DN/DA = 3/4 nên d(N,(SCD)) = 3/4 d(A,(SCD))

+ Xác định khoảng cách từ A đến (SCD).

Vì vậy tam giác ACD vuông cân tại C nên CD vuông góc với AC.

CD ⊥ AC & CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAC) ⇒ (SCD) ⊥ (SAC).

Hạ AH ⊥ SC, ta có AH ⊥ (SCD).

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), D(2a,0,0), C(x_C, y_C, 0)$ (chưa biết tọa độ C)

Tam giác $SAD$ đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy, giả sử $S(a,0,h)$

Trung điểm $H$ của $AD$: $H = \left(\dfrac{0+2a}{2},0,0\right) = (a,0,0)$

Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SHC)$ bằng $2 a \sqrt{6}$, suy ra chiều cao khối chóp theo đáy $h = ?$

Do tam giác SAD đều cạnh $2a$, chiều cao $SH = \sqrt{3} a$

Xác định diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2} \approx 2 a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 2 a^2 \cdot \sqrt{3} a = \dfrac{2 a^3 \sqrt{3}}{3}$

Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

$V = \dfrac{2 a^3 \sqrt{3}}{3}$

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\\BD\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)

Từ A kẻ \(AH\perp SO\Rightarrow AH\perp\left(SBD\right)\)

\(\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)

\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

Hệ thức lượng: \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AO^2}\Rightarrow AH=\dfrac{SA.AO}{\sqrt{SA^2+AO^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)

Chọn D

Phương pháp:

Xác định khoảng cách sau đó dùng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách đó.

Cách giải:

+ Xác định góc của (SAB) và mặt phẳng đáy.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABD và E là hình chiếu của G lên AB. Ta có:

AB ⊥ SG & AB ⊥ GE⇒ AB ⊥ (SEG) ⇒ AB ⊥ SE.

SE ⊥ AB & GE ⊥ AB⇒ ∠((SAB),(ABCD)) = ∠(SEG) = 60o.

+ Xác định khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD).

Hạ GN ⊥ AD. Tương tự như trên, ta có: AD ⊥ GN & AD ⊥ SG⇒ AD ⊥ (SGN)

Hạ GH ⊥ SN, ta có GH ⊥ (SAD) suy ra khoảng cách từ G đến (SAD) là GH.

+ Tính GH.

(do GE = GN). Thế vào (1) ta được:

Ta có: M ∈(SAD) & MB = 3MG⇒ d(B,(SAD)) = 3d(G,(SAD)) = (a√3)/2.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,a,0), C(a,a,0)$

Hình chiếu của $S$ lên đáy ABCD trùng với trọng tâm tam giác $ABD$:

$G = \dfrac{A+B+D}{3} = \dfrac{(0,0,0) + (a,0,0) + (0,a,0)}{3} = \left(\dfrac{a}{3}, \dfrac{a}{3}, 0\right)$

Vậy hình chiếu $H$ của $S$ xuống đáy: $H = (a/3, a/3, 0)$

Giả sử $S = (a/3, a/3, h)$

Mặt bên $(SAB)$ tạo với đáy góc $60^\circ$, tức:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SA}{\text{chiều cao trong đáy từ A đến AB}}$

Chiều cao trong đáy từ $A$ xuống $B$ (theo hướng AB): $d = \sqrt{(B_x - A_x)^2 + (B_y - A_y)^2} = \sqrt{(a - 0)^2 + (0-0)^2} = a$

Vậy $\tan 60^\circ = \dfrac{h}{d} = \dfrac{h}{a} \Rightarrow h = a \sqrt{3}$

Tọa độ $S = (a/3, a/3, a\sqrt{3})$

Mặt phẳng $(SAD)$ đi qua $S, A, D$

Vector:

$\vec{SA} = A - S = (-a/3, -a/3, -a \sqrt{3})$

$\vec{SD} = D - S = (-a/3, 2a/3, -a \sqrt{3})$

Phương trình mặt phẳng:

$|(X-S), \vec{SA}, \vec{SD}| = 0$ với $X=(x,y,z)$

$X-S = (x-a/3, y-a/3, z - a \sqrt{3})$

Tính định thức:

$\det \begin{vmatrix} x-a/3 & y-a/3 & z - a\sqrt{3} \\ -a/3 & -a/3 & -a\sqrt{3} \\ -a/3 & 2a/3 & -a\sqrt{3} \end{vmatrix} = 0$

Tính ra phương trình:

$z = a\sqrt{3} - \dfrac{2}{3} y$

Khoảng cách từ $B(a,0,0)$ đến mặt phẳng:

Công thức: $d = \dfrac{|A x_B + B y_B + C z_B + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Với $z - a\sqrt{3} + \dfrac{2}{3} y = 0 \Rightarrow A=0, B=2/3, C=1, D=-a \sqrt{3}$

$d = \dfrac{|0\cdot a + (2/3)\cdot 0 + 1\cdot 0 - a \sqrt{3}|}{\sqrt{0 + (2/3)^2 + 1}} = \dfrac{a \sqrt{3}}{\sqrt{1 + 4/9}} = \dfrac{a \sqrt{3}}{\sqrt{13/9}} = \dfrac{a \sqrt{3}}{\sqrt{13}/3} = \dfrac{3 a \sqrt{3}}{\sqrt{13}}$

Vậy khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SAD)$ là:

$d = \dfrac{3 a \sqrt{3}}{\sqrt{13}}$