Đáp án B

Tọa độ hóa và chuẩn hóa với

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ và $S(0,0,a)$ vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$.

Vector pháp tuyến mặt phẳng $(SAB)$:

$\vec{SA} = (0,0,a),\ \vec{SB} = (a,0,a) \Rightarrow \vec{n_1} = \vec{SA} \times \vec{SB} = (0, a^2, 0)$

Vector pháp tuyến mặt phẳng $(SCD)$:

$\vec{SC} = (a,a,a),\ \vec{SD} = (0,a,a) \Rightarrow \vec{n_2} = \vec{SC} \times \vec{SD} = (0,-a^2, a^2)$

Góc giữa hai mặt phẳng:

$\cos \theta = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|} = \dfrac{|0 \cdot 0 + a^2 \cdot (-a^2) + 0 \cdot a^2|}{\sqrt{a^4}\cdot \sqrt{(-a^2)^2 + a^4}} = \dfrac{a^4}{a^2 \cdot \sqrt{2} a^2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Suy ra $\theta = 45^\circ$

Chọn B.

Trong hình chóp $S.ABCD$ với $SA \perp$ đáy, góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ được tạo bởi giao tuyến của hai mặt phẳng với mặt phẳng chứa các cạnh chéo liên quan.

Cụ thể, góc giữa $(SAB)$ và $(SCD)$ chính là góc tại $S$ giữa hai đường $SA$ và $SC$, tức là $\widehat{BSC}$.

Chọn C. $\widehat{BSC}$

Đáp án A.

Phương pháp: 

Xác định góc giữa hai mặt phẳng α , β :

- Tìm giao tuyến Δ  của α , β .  

- Xác định 1 mặt phẳng γ ⊥ Δ .  

- Tìm các giao tuyến a = α ∩ γ ,   b = β ∩ γ  

- Góc giữa hai mặt phẳng  α , β :   α ; β = a ; b .

Cách giải:

Ta có: S C D ∩ A B C D = C D  

Mà C D ⊥ A D  (ABCD là hình vuông), C D ⊥ S A  (vì S A ⊥ A B C D ) ⇒ C D ⊥ S A D  

S C D ∩ S A D = S D ,

A B C D ∩ S A D = A D ⇒ S C D , A B C D = S D ; A D = S D A

Góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ là góc giữa đường cao $SH$ của hình chiếu $S$ lên đáy và mặt phẳng đáy. Trong hình này, đường tạo góc là $SC$ với mặt đáy, tức là góc $\widehat{SCA}$.

Chọn B. $\widehat{SCA}$

Chọn A.

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ và $S(0,0,a)$ vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$.

Mặt phẳng $(SCD)$ đi qua $S(0,0,a),\ C(a,a,0),\ D(0,a,0)$. Phương trình mặt phẳng $(SCD)$:

$\vec{SC} = (a,a,-a),\ \vec{SD} = (0,a,-a)$

$\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & -a \\ 0 & a & -a \end{vmatrix} = (0, a^2, a^2)$

Phương trình mặt phẳng: $0(x-0) + a^2(y-0) + a^2(z- a) = 0 \Rightarrow y + z = a$

Khoảng cách từ đường thẳng $AB$ (với $A(0,0,0)$ và $B(a,0,0)$) đến mặt phẳng $(SCD)$ là khoảng cách từ điểm $M$ trên $AB$ đến mặt phẳng sao cho vuông góc. Do AB nằm trên trục x (y=0,z=0), khoảng cách vuông góc từ AB đến mặt phẳng $(SCD)$ là:

$d = \dfrac{|0 + 0 - a|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}} = \dfrac{a}{\sqrt{2}} = \dfrac{a \sqrt{2}}{2}$

Chọn A. $\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và đáy bằng $60^\circ$, tức:

$\cos 60^\circ = \dfrac{|n_{SCD} \cdot n_{ABCD}|}{|n_{SCD}| \cdot |n_{ABCD}|} = \dfrac{1}{2}$

Vector pháp tuyến của đáy: $n_{ABCD} = (0,0,1)$

Vector pháp tuyến của $(SCD)$: $n_{SCD} = \vec{SC} \times \vec{SD}$

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\vec{SD} = \left(0 - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(-\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\vec{SC} \times \vec{SD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \dfrac{a}{2} & a & -h \\ -\dfrac{a}{2} & a & -h \end{vmatrix} = (0, ah, a^2)$

$\cos \theta = \dfrac{|n_{SCD} \cdot n_{ABCD}|}{|n_{SCD}|} = \dfrac{|a^2|}{\sqrt{0^2 + (ah)^2 + (a^2)^2}} = \dfrac{a^2}{a\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Theo đề: $\cos \theta = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{h^2 + a^2} = 2a \Rightarrow h^2 = 3a^2 \Rightarrow h = a \sqrt{3}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a \sqrt{3} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Chọn C.

B

Đáp án A

Do AB // CD => giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng qua S và song song với AB.

Dễ thấy Sx ⊥ (DSA) => Góc tạo bởi mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng góc  D S A ^ = a r c tan 1 3 = 30 0

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ và $S(0,0,a\sqrt{3})$ vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{3}$.

Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SAB)$:

$\vec{SA} = (0-0,0-0,a\sqrt{3}-0) = (0,0,a\sqrt{3})$

$\vec{SB} = (a-0,0-0,a\sqrt{3}-0) = (a,0,a\sqrt{3})$

$\vec{n_1} = \vec{SA} \times \vec{SB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & a\sqrt{3} \\ a & 0 & a\sqrt{3} \end{vmatrix} = (0, a^2 3,0) = (0,3 a^2,0)$

Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SCD)$:

$\vec{SC} = (a-0, a-0, a\sqrt{3}-0) = (a,a,a\sqrt{3})$

$\vec{SD} = (0-0, a-0, a\sqrt{3}-0) = (0,a,a\sqrt{3})$

$\vec{n_2} = \vec{SC} \times \vec{SD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & a\sqrt{3} \\ 0 & a & a\sqrt{3} \end{vmatrix} = (0, -3 a^2, a^2) $

Góc giữa hai mặt phẳng:

$\cos \theta = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|} = \dfrac{|0 \cdot 0 + 3a^2 \cdot (-3a^2) + 0 \cdot a^2|}{\sqrt{(3a^2)^2}\sqrt{0^2 + (-3a^2)^2 + (a^2)^2}} = \dfrac{9 a^4}{3a^2 \cdot \sqrt{10} a^2} = \dfrac{9}{3 \sqrt{10}} = \dfrac{3}{\sqrt{10}}$

Suy ra $\theta \approx 60^\circ$

Chọn B.

Đáp án B

Ta có: B C ⊥ A B B C ⊥ S A ⇒ B C ⊥ M A  

Mặt khác A M ⊥ S B ⇒ A M ⊥ S B C ⇒ A N ⊥ S C , tương tự A N ⊥ S C  

Do đó S C ⊥ A M N , mặt khác ∆ S B C  vuông tại B suy ra  tan B S C ^ = B C S B = a S A 2 + A B 2 = 1 3

⇒ S B ; S C ^ = B S C ^ = 30 ° ⇒ S B ; A M N ^ = 60 ° .

sao suy ra được góc giữa SB; AMN = 60 ạ?

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ và $S(0,0,a)$ vì $SA \perp (ABCD)$.

Vector $\vec{SB} = B - S = (a,0,-a)$, $\vec{CD} = D - C = (-a,0,0)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo $SB$ và $CD$ (không cắt nhau) được tính bằng công thức:

$d = \dfrac{|(\vec{SB} \times \vec{CD}) \cdot \vec{SC}|}{|\vec{SB} \times \vec{CD}|}$

Trong đó $\vec{SC} = C - S = (a,a,-a)$.

Tính:

$\vec{SB} \times \vec{CD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & -a \\ -a & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0, a^2, 0)$

$|(\vec{SB} \times \vec{CD}) \cdot \vec{SC}| = |0 \cdot a + a^2 \cdot a + 0 \cdot (-a)| = a^3$

$|\vec{SB} \times \vec{CD}| = \sqrt{0^2 + a^4 + 0^2} = a^2$

Vậy khoảng cách:

$d = \dfrac{a^3}{a^2} = a$

Chọn A. $a$