Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).

Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).

Do \(\left(SC;\left(ABCD\right)\right)=45^0;SA\perp\left(ABCD\right)\)

nên \(\left\{{}\begin{matrix}\left(SC;AC\right)=45^0\\AS\perp AC\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow AS=AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{6}.\left(AD+BC\right).AB.AS\)

\(=\dfrac{1}{6}\left(2a+a\right).a.a\sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}a^3\)

Lời giải:

$SA\perp (ABCD)$ nên $45^0=\angle (SB, (ABCD))=\angle (SB, AB)=\widehat{SBA}$

$\Rightarrow SA=AB=5$ (cm)

Thể tích khối chóp $S.ABCD$:

$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.5.5^2=\frac{125}{3}$ (cm³)

Chọn D

Gọi H là trung điểm của AB.

Do đó: 

Xét tam giác vuông BHC:

Xét tam giác vuông SHC:

Suy ra: 

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Vì $(SAB)$ là tam giác cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa $SC$ và đáy bằng $45^\circ$:

$\vec{SC} = C - S = \left(a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

Chiều dài $|\vec{SC}| = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{\dfrac{5a^2}{4} + h^2}$

Theo định nghĩa: $\sin 45^\circ = \dfrac{h}{|\vec{SC}|} \Rightarrow \dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{h^2 + \dfrac{5a^2}{4}}}$

Giải ra: $h^2 + \dfrac{5a^2}{4} = 2 h^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{5a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt5}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt5}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt5}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt5}{6}$

Chọn D.

Chọn A

=> SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB).

.

Xét tam giác SBC vuông tại B có

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

Đáp án B

Hướng dẫn giải:

+)

+)

+)  Ta có A B ⊥ B C , kẻ  A P ⊥ S B ( P ∈ S B )

d(A;(SBC)) = AP ⇒ d(AD;SB) = AP

+) 

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,b,0),\ C(a,b,0)$.

Vì tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, ta có: $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$ với $AB = a$.

Tam giác $SAB$ đều nên $SA = SB = AB = a \Rightarrow SA = a$

Do $SD = 2a\sqrt3$, vector $\vec{SD} = D - S = \left(-\dfrac{a}{2}, b - 0, 0 - h \right)$

Chiều dài $|\vec{SD}|^2 = \left(-\dfrac{a}{2}\right)^2 + b^2 + h^2 = \dfrac{a^2}{4} + b^2 + h^2 = (2a\sqrt3)^2 = 12 a^2$

$\Rightarrow b^2 + h^2 = 12 a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{47 a^2}{4}$

Góc giữa $SC$ và đáy bằng $30^\circ$:

$\vec{SC} = C - S = \left(a - \dfrac{a}{2}, b - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, b, -h\right)$

Chiều dài $|\vec{SC}| = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + b^2 + h^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + \dfrac{47 a^2}{4}} = \sqrt{12 a^2} = 2 a \sqrt3$

Khoảng cách từ $S$ tới đáy:

$\sin 30^\circ = \dfrac{h}{|\vec{SC}|} = \dfrac{h}{2a\sqrt3} \Rightarrow h = 2 a\sqrt3 \cdot \dfrac{1}{2} = a \sqrt3$

Suy ra $b^2 = \dfrac{47a^2}{4} - 3 a^2 = \dfrac{47 a^2}{4} - \dfrac{12 a^2}{4} = \dfrac{35 a^2}{4} \Rightarrow b = \dfrac{a \sqrt{35}}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a \cdot b = a \cdot \dfrac{a \sqrt{35}}{2} = \dfrac{a^2 \sqrt{35}}{2}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2 \sqrt{35}}{2} \cdot a\sqrt3 = \dfrac{a^3 \sqrt{105}}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{105}}{6}$