Đáp án B.

Ta có A D / / B C , A D ∉ ( S B C ) , B C ⊂ ( S B C ) ⇒ A D / / ( S B C )  

⇒ d ( A D ; S C ) = d ( A D ; ( S B C ) ) = d ( D ; ( S B C ) ) .

Qua I kẻ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại H.

Suy ra  I H ⊥ C D  

Từ C D ⊥ I H , C D ⊥ S I ⇒ C D ⊥ ( S I H ) ⇒ C D ⊥ S H .

Suy ra   ( S C D ) , ( A B C D ) ⏜ = S H , I H ⏜ = S H I ⏜ ⇒ C D ⊥ S H

S I = H I . tan S H I ⏜ = a . tan 60 ° = a 3 ⇒ V S . B C D = 1 2 S A B C D = a 3 3 6 .

Lại có V S . B C D = 1 3 . S ∆ S B C . d ( D ; ( S B C ) ) ⇒ d ( D ; ( S B C ) = 3 V S . B C D S ∆ S B C  (1)

Từ I B = 2 3 A B = 2 3 a ⇒ S B = S I 2 + I B 2 = a 3 2 + 2 a 3 2 = a 31 3 .

Từ B C ⊥ A B , B C ⊥ S I ⇒ B C ⊥ ( S A B ) ⇒ B C ⊥ ( S A B ) ⇒ B C ⊥ S B ⇒ ∆ S B C  vuông tại B.

Suy ra S ∆ S B C = 1 2 S B . S C = 1 2 . a 31 3 . a = a 2 31 6  (2)

Từ (1) và (2), suy ra   d ( D ; ( S B C ) ) = 3 a 3 3 6 a 2 31 6 = 3 a 3 31 = 3 39 31 a

Vậy d ( A D ; S C ) = d ( D ; ( S B C ) ) = 3 93 31 a  

Đáp án A

Chọn đáp án A.

Gọi O là tâm của hình vuông và N là trung điểm của AB.

Khi đó G là giao điểm của AC và DN. Tam giác SGD vuông tại G nên  S D G ^ nhọn

Đáp án D

Đáp ván A

Vì I là hình chiếu của S trên (ABCD)

⇒ ( S C → , ( A B C D ) ) = S C I ⏞

⇒ S I = I C . tan 60 ° = a 5 2 . tan 60 ° = a 15 2

Vậy  

V S . I B C = V S . A B C D - V S . A I B - V S . I C D = 1 3 . a 15 2 a + 2 a 2 . a - 1 2 . a 2 . 2 a - 1 2 . a 2 . a = a 3 15 8

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ D(a,0,0),\ B(2a,0,0),\ C(a, a,0)$.

Trung điểm $I$ của $AD$: $I\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$.

Hình chiếu của $S$ lên đáy là $I$ ⇒ $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa $SC$ và đáy là $60^\circ$:

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a - 0, -h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

Chiều cao $h$ được xác định từ:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SI}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + a^2 + h^2}}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\frac{5a^2}{4} + h^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\frac{5a^2}{4} + h^2} \Rightarrow 3\left(\frac{5a^2}{4} + h^2\right) = 4 h^2$

$ \Rightarrow \dfrac{15a^2}{4} + 3h^2 = 4 h^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{15a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$

Thể tích khối chóp $S.IBC$:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\triangle IBC} \cdot SI$

Tính diện tích $\triangle IBC$:

$\vec{IB} = (2a - \frac{a}{2}, 0 - 0, 0) = \left(\frac{3a}{2},0,0\right)$

$\vec{IC} = (a - \frac{a}{2}, a - 0, 0) = \left(\frac{a}{2},a,0\right)$

$S_{\triangle IBC} = \dfrac{1}{2} |\vec{IB} \times \vec{IC}|$

$\vec{IB} \times \vec{IC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{3a}{2} & 0 & 0 \ \frac{a}{2} & a & 0 \end{vmatrix} = (0,0, \frac{3a^2}{2})$

$S_{\triangle IBC} = \dfrac{1}{2} \cdot \frac{3a^2}{2} = \dfrac{3a^2}{4}$

Chiều cao: $SI = h = \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$

$V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3a^2}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt{15}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{8}$