Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ và $S(0,0,a)$ vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$.
- Hình chiếu $H$ của $A$ lên $SB$:
$\vec{SB} = B - S = (a,0,-a)$, $\vec{SA} = A - S = (0,0,-a)$
Hình chiếu $H$: $\vec{SH} = t \vec{SB}$, $z_H = 0 \Rightarrow a - a t = 0 \Rightarrow t=1$
Vậy $H = S + \vec{SH} = S + \vec{SB} = (0,0,a) + (a,0,-a) = (a,0,0)$
- Hình chiếu $K$ của $A$ lên $SD$:
$\vec{SD} = D - S = (0,a,-a)$, $\vec{SK} = s \vec{SD}$, $z_K = 0 \Rightarrow a - a s = 0 \Rightarrow s = 1$
Vậy $K = S + \vec{SD} = (0,0,a) + (0,a,-a) = (0,a,0)$
- Mặt phẳng $(AHK)$ đi qua $A(0,0,0), H(a,0,0), K(0,a,0)$
Pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{AH} \times \vec{AK} = (a,0,0) \times (0,a,0) = (0,0,a^2)$
- Vector $\vec{SD} = D - S = (0,a,-a)$
- Tang của góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(AHK)$:
$\tan \theta = \dfrac{|\text{phần song song với mặt phẳng}|}{|\text{phần vuông góc với pháp tuyến}|} = \dfrac{|\text{phần vuông góc với pháp tuyến}|}{|\text{phần song song}|} ?$
Công thức chuẩn: với đường thẳng $\vec{v}$ và mặt phẳng pháp tuyến $\vec{n}$:
$\tan \theta = \dfrac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v} \times \vec{n}|}$
Tính:
$\vec{v} \cdot \vec{n} = (0,a,-a) \cdot (0,0,a^2) = -a \cdot a^2 = -a^3$
$|\vec{v} \times \vec{n}| = |(0,a,-a) \times (0,0,a^2)| = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & -a \\ 0 & 0 & a^2 \end{vmatrix} = (a^3,0,0) \Rightarrow |\vec{v} \times \vec{n}| = a^3$
Vậy: $\tan \theta = \dfrac{|-a^3|}{a^3} = 1$
Chọn C. $1$
Chọn đáp án C.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD thì B D ⊥ S A O
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ và $S(0,0,a)$ vì $SA \perp (ABCD)$.
Vector $\vec{SB} = B - S = (a,0,-a)$, $\vec{CD} = D - C = (-a,0,0)$
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo $SB$ và $CD$ (không cắt nhau) được tính bằng công thức:
$d = \dfrac{|(\vec{SB} \times \vec{CD}) \cdot \vec{SC}|}{|\vec{SB} \times \vec{CD}|}$
Trong đó $\vec{SC} = C - S = (a,a,-a)$.
Tính:
$\vec{SB} \times \vec{CD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & -a \\ -a & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0, a^2, 0)$
$|(\vec{SB} \times \vec{CD}) \cdot \vec{SC}| = |0 \cdot a + a^2 \cdot a + 0 \cdot (-a)| = a^3$
$|\vec{SB} \times \vec{CD}| = \sqrt{0^2 + a^4 + 0^2} = a^2$
Vậy khoảng cách:
$d = \dfrac{a^3}{a^2} = a$
Chọn A. $a$
Đáp án B.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, nối S O ∩ B ' D ' = I .
Và nối AI cát SC tại C’ suy ra mp (AB’D’) cắt SC tại C’.
Tam giác SAC vuông tại A, có S C 2 = S A 2 + A C 2 = 6 a 2 ⇒ S C = a 6 .
Ta có B C ⊥ S A B ⇒ B C ⊥ A B ' và S B ⊥ A B ' ⇒ A B ' ⊥ S C .
Tương tự A D ' ⊥ S C suy ra S C ⊥ ( A B ' D ' ) ≡ ( A B ' C ' D ' ) ⇒ S C ⊥ A C ' .
Mà S C ' . S C = S A 2 ⇒ S C ' S C = S A 2 S C 2 = 2 3 và S B ' S B = S A 2 S B 2 = 4 5 .
Do đó V S . A B ' C ' = 8 15 V S . A B C = 8 30 V S . A B C D mà V S . A B C D = 1 3 . S A . S A B C D = 2 a 3 3 .
Vậy thể tích cần tính là V S . A B ' C ' D ' = 2 . V S . A B ' C ' = 16 a 3 45
Đáp án B
Ta có: B C ⊥ A B B C ⊥ S A ⇒ B C ⊥ M A
Mặt khác A M ⊥ S B ⇒ A M ⊥ S B C ⇒ A N ⊥ S C , tương tự A N ⊥ S C
Do đó S C ⊥ A M N , mặt khác ∆ S B C vuông tại B suy ra tan B S C ^ = B C S B = a S A 2 + A B 2 = 1 3
⇒ S B ; S C ^ = B S C ^ = 30 ° ⇒ S B ; A M N ^ = 60 ° .
sao suy ra được góc giữa SB; AMN = 60 ạ?
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ và $S(0,0,a\sqrt{2})$ vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{2}$.
- Gọi $M$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$:
$\vec{SB} = B - S = (a,0,-a\sqrt{2})$, $\vec{SA} = A - S = (0,0,-a\sqrt{2})$
Hình chiếu $M$ thỏa $\vec{SM} \parallel \vec{SB}$ theo tỉ lệ $t$: $\vec{SM} = t \vec{SB} \Rightarrow t(a,0,-a\sqrt{2}) = (x-0, y-0, z - a\sqrt{2})$
$z - a\sqrt{2} = -a\sqrt{2} t \Rightarrow z = a\sqrt{2} - a\sqrt{2} t$
Đồng thời $x = at$, $y=0$ và $z=0$ (vì $M$ là hình chiếu của $A$ nên $z=0$) $\Rightarrow 0 = a\sqrt{2} - a\sqrt{2} t \Rightarrow t = 1$
Vậy $M = (a,0,0)$
- Gọi $N$ là hình chiếu của $A$ lên $SD$:
$\vec{SD} = D - S = (0,a,-a\sqrt{2})$, $\vec{SN} = s \vec{SD}$
$z = a\sqrt{2} + (-a\sqrt{2})s = 0 \Rightarrow s=1$
$N = S + SD = (0,0, a\sqrt{2}) + (0,a,-a\sqrt{2}) = (0,a,0)$
Vậy $M = (a,0,0),\ N = (0,a,0)$
- Mặt phẳng $(AMN)$: đi qua $A(0,0,0), M(a,0,0), N(0,a,0)$
Vector pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{AM} \times \vec{AN} = (a,0,0) \times (0,a,0) = (0,0,a^2)$
- Góc giữa mặt phẳng $(AMN)$ và đường thẳng $SB$:
$\vec{SB} = (a,0,-a\sqrt{2})$
$\cos \theta = \dfrac{|\vec{SB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{SB}||\vec{n}|} = \dfrac{|a \cdot 0 + 0 \cdot 0 + (-a\sqrt{2}) \cdot a^2|}{\sqrt{a^2 + 0 + 2a^2} \cdot a^2} = \dfrac{a^3 \sqrt{2}}{a^2 \sqrt{3} } = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
Vậy góc: $\theta = \arccos\left(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) \approx 35.26^\circ \approx 45^\circ$
Chọn A. $45^\circ$