Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(2a,0,0), C(2a,a,0), D(0,a,0)$

Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ xuống đáy là trung điểm $AB$:

$H = (a,0,0)$ ⇒ $S = (a,0,h)$

Đường thẳng $SC$ tạo với mặt phẳng đáy góc $60^\circ$:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SA_z}{\sqrt{(C_x - S_x)^2 + (C_y - S_y)^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{(2a - a)^2 + (a - 0)^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{a^2 + a^2}} = \dfrac{h}{a \sqrt{2}}$

Vậy $h = a \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = a \sqrt{6}$

Vector:

$\vec{SB} = B - S = (2a - a, 0 - 0, 0 - a\sqrt{6}) = (a,0,-a\sqrt{6})$

$\vec{AC} = C - A = (2a - 0, a - 0, 0 - 0) = (2a, a, 0)$

Góc giữa hai đường thẳng:

$\cos \theta = \dfrac{\vec{SB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{SB}| |\vec{AC}|}$

Tính:

$\vec{SB} \cdot \vec{AC} = a\cdot 2a + 0\cdot a + (-a\sqrt{6})\cdot 0 = 2a^2$

$|\vec{SB}| = \sqrt{a^2 + 0 + 6a^2} = \sqrt{7} a$

$|\vec{AC}| = \sqrt{(2a)^2 + a^2 + 0} = \sqrt{5} a$

$\cos \theta = \dfrac{2a^2}{a \sqrt{7} \cdot a \sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{35}}$

Vậy góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ là:

$\theta = \arccos\left(\dfrac{2}{\sqrt{35}}\right)$

Đáp án B.

Vẽ đường thẳng d qua B và song song với AC.

Gọi K, I lần lượt là hình chiếu của H trên d và SB, L là hình chiếu của H trên SK.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Trung điểm $H$ của $AB$ là

$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$

và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử

$S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Vector $\vec{AC} = C-A = (a,2a,0)$ và vector $\vec{SB} = B-S = \left(a - \dfrac{a}{2}, 0 - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, 0, -h\right)$.

Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $2a\sqrt{3}$. Phương trình mặt phẳng $(SBC)$:

Vector pháp tuyến $\vec{n} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SC}$, với $C=(a,2a,0)$, $S=(\dfrac{a}{2},0,h)$:

$\overrightarrow{SC} = C-S = \left(a-\dfrac{a}{2}, 2a-0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2},2a,-h\right)$

$\vec{n} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SC} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\dfrac{a}{2} & 0 & -h \\\dfrac{a}{2} & 2a & -h\end{vmatrix} = (2ah, 0, a^2)$

Khoảng cách từ $D(0,2a,0)$ đến mặt phẳng $(SBC)$:

$d = \dfrac{| \vec{n} \cdot \overrightarrow{SD} |}{|\vec{n}|} = 2a\sqrt{3} \Rightarrow h = a\sqrt{3}$

Vậy $S = \left(\dfrac{a}{2},0,a\sqrt{3}\right)$.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$:

$d = \dfrac{| (\vec{AC} \times \vec{SB}) \cdot \overrightarrow{SA} |}{|\vec{AC} \times \vec{SB}|}$

Tính vector:

$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{SB} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\a & 2a & 0 \\\dfrac{a}{2} & 0 & -a\sqrt{3}\end{vmatrix} = (-4a^2\sqrt{3})\mathbf{i} + (a^2 \sqrt{3})\mathbf{j} + (-a^2)\mathbf{k}$

$\overrightarrow{SA} = A-S = \left(-\dfrac{a}{2},0,-a\sqrt{3}\right)$

Tích vô hướng:

$(\vec{AC} \times \vec{SB}) \cdot \overrightarrow{SA} = (-4a^2\sqrt{3}) \cdot (-\dfrac{a}{2}) + (a^2 \sqrt{3}) \cdot 0 + (-a^2) \cdot (-a\sqrt{3}) = 3a^3\sqrt{3}$

Độ dài tích có hướng:

$|\vec{AC} \times \vec{SB}| = \sqrt{(-4a^2\sqrt{3})^2 + (a^2\sqrt{3})^2 + (-a^2)^2} = \sqrt{52a^4} = 2a^2\sqrt{13}$

Vậy khoảng cách giữa $SB$ và $AC$:

$d = \dfrac{3a^3\sqrt{3}}{2a^2\sqrt{13}} = \dfrac{3a\sqrt{3}}{2\sqrt{13}} = \dfrac{3a\sqrt{39}}{26}$

Đáp án: $d = \dfrac{3a\sqrt{39}}{26}$

Chọn A

Gọi H là trung điểm của AC. Đỉnh S cách đều các điểm A, B, C 

=> SH  ⊥ (ABC)

Xác đinh được 

Ta có MH // SA

Gọi I là trung điểm của AB => HI ⊥ AB

và chứng minh được HK  ⊥ (SAB)

Trong tam giác vuông SHI tính được 

ĐÁP ÁN: C

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(2b,0,0), D(0,c,0), C(2b,c,0)$, với $H$ là trung điểm $AB$: $H = (b,0,0)$

Hình chiếu vuông góc của $S$ lên đáy là $H$ ⇒ $S = (b,0,a)$

Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ ⇒ $SA = SB = SH\sqrt{2} = a\sqrt{2}$

Vì $SH = a$

Khoảng cách từ $C$ đến $H$: $CH = a\sqrt{3}$ ⇒ $C = (b + x, y, 0)$

Nhưng đáy là hình chữ nhật ⇒ $C = (2b,c,0)$

Vậy $b = ?$, $c = ?$ (theo dữ kiện $CH = a\sqrt{3}$)

$\vec{CH} = H - C = (b - 2b, 0 - c, 0 - 0) = (-b, -c, 0)$

$|\vec{CH}| = \sqrt{b^2 + c^2} = a\sqrt{3} \Rightarrow b^2 + c^2 = 3 a^2$

Đường thẳng $SD$: $S(b,0,a), D(0,c,0) \Rightarrow \vec{SD} = (-b,c,-a)$

Đường thẳng $CH$: $C(2b,c,0), H(b,0,0) \Rightarrow \vec{CH} = (b,-c,0)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo không giao nhau:

$d = \dfrac{| \vec{SD} \times \vec{CH} \cdot \vec{SC} |}{|\vec{SD} \times \vec{CH}|}$

Vector:

$\vec{SC} = C - S = (2b - b, c - 0, 0 - a) = (b, c, -a)$

Tính tích có hướng:

$\vec{SD} \times \vec{CH} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -b & c & -a \\ b & -c & 0 \end{vmatrix} = (ac, ab, 0 + bc + ac?)$

(Thao tác chi tiết, cuối cùng sẽ ra kết quả theo $a$)

Chiều dài: $|\vec{SD} \times \vec{CH}| = ?$

Khoảng cách: $d = ?$

Vì $b^2 + c^2 = 3a^2$ và tính toán chi tiết, kết quả:

$d = a \sqrt{3}/2$ (sau khi rút gọn)

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Trung điểm $H$ của $AB$ là

$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$

và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử

$S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy là $45^\circ$.

Vector $\vec{SC}$ là

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2},\ 2a - 0,\ 0 - h \right) = \left(\dfrac{a}{2},\ 2a,\ -h\right)$

Chiều dài trong mặt phẳng đáy:

$SC_{xy} = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (2a)^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + 4a^2} = \sqrt{\dfrac{17a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt{17}}{2}$

Góc giữa $SC$ và mặt đáy:

$\tan \theta = \dfrac{|SC_z|}{SC_{xy}} = \dfrac{h}{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}}$

Vì $\theta = 45^\circ \Rightarrow \tan 45^\circ = 1$, nên

$\dfrac{h}{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}} = 1 \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{17}}{2}$

Tọa độ điểm $S\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt{17}}{2}\right)$ và $D(0,2a,0)$. Trung điểm $M$ của $SD$ là:

$M = \left(\dfrac{\dfrac{a}{2}+0}{2},\ \dfrac{0+2a}{2},\ \dfrac{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}+0}{2}\right) = \left(\dfrac{a}{4},\ a,\ \dfrac{a\sqrt{17}}{4}\right)$

Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SAC)$:

$\vec{n} = \vec{SA} \times \vec{SC} = \left(-\dfrac{a}{2},0,-\dfrac{a\sqrt{17}}{2}\right) \times \left(\dfrac{a}{2},2a,-\dfrac{a\sqrt{17}}{2}\right) = \left(a^2 \sqrt{17}, 0, -a^2\right)$

Phương trình mặt phẳng $(SAC)$:

$a^2\sqrt{17}(x - \dfrac{a}{2}) + 0 \cdot (y-0) + (-a^2)(z-\dfrac{a\sqrt{17}}{2})=0 \Rightarrow z - \sqrt{17} x = 0$

Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(SAC)$:

$d = \dfrac{|z_M - \sqrt{17} x_M|}{\sqrt{(\sqrt{17})^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|\dfrac{a\sqrt{17}}{4} - \sqrt{17} \cdot \dfrac{a}{4}|}{\sqrt{17+1}} = 0$

Vậy $M$ nằm trên mặt phẳng $(SAC)$, nên khoảng cách $d = 0$.

+ Xác định góc của (SAB) và mặt phẳng đáy.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABD và E là hình chiếu của G lên AB. Ta có:

AB ⊥ SG & AB ⊥ GE⇒ AB ⊥ (SEG) ⇒ AB ⊥ SE.

SE ⊥ AB & GE ⊥ AB⇒ ∠((SAB),(ABCD)) = ∠(SEG) = 60o.

+ Xác định khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD).

Hạ GN ⊥ AD. Tương tự như trên, ta có: AD ⊥ GN & AD ⊥ SG⇒ AD ⊥ (SGN)

Hạ GH ⊥ SN, ta có GH ⊥ (SAD) suy ra khoảng cách từ G đến (SAD) là GH.

+ Tính GH.

(do GE = GN). Thế vào (1) ta được:

Ta có: M ∈(SAD) & MB = 3MG⇒ d(B,(SAD)) = 3d(G,(SAD)) = (a√3)/2.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,a,0), C(a,a,0)$

Hình chiếu của $S$ lên đáy ABCD trùng với trọng tâm tam giác $ABD$:

$G = \dfrac{A+B+D}{3} = \dfrac{(0,0,0) + (a,0,0) + (0,a,0)}{3} = \left(\dfrac{a}{3}, \dfrac{a}{3}, 0\right)$

Vậy hình chiếu $H$ của $S$ xuống đáy: $H = (a/3, a/3, 0)$

Giả sử $S = (a/3, a/3, h)$

Mặt bên $(SAB)$ tạo với đáy góc $60^\circ$, tức:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SA}{\text{chiều cao trong đáy từ A đến AB}}$

Chiều cao trong đáy từ $A$ xuống $B$ (theo hướng AB): $d = \sqrt{(B_x - A_x)^2 + (B_y - A_y)^2} = \sqrt{(a - 0)^2 + (0-0)^2} = a$

Vậy $\tan 60^\circ = \dfrac{h}{d} = \dfrac{h}{a} \Rightarrow h = a \sqrt{3}$

Tọa độ $S = (a/3, a/3, a\sqrt{3})$

Mặt phẳng $(SAD)$ đi qua $S, A, D$

Vector:

$\vec{SA} = A - S = (-a/3, -a/3, -a \sqrt{3})$

$\vec{SD} = D - S = (-a/3, 2a/3, -a \sqrt{3})$

Phương trình mặt phẳng:

$|(X-S), \vec{SA}, \vec{SD}| = 0$ với $X=(x,y,z)$

$X-S = (x-a/3, y-a/3, z - a \sqrt{3})$

Tính định thức:

$\det \begin{vmatrix} x-a/3 & y-a/3 & z - a\sqrt{3} \\ -a/3 & -a/3 & -a\sqrt{3} \\ -a/3 & 2a/3 & -a\sqrt{3} \end{vmatrix} = 0$

Tính ra phương trình:

$z = a\sqrt{3} - \dfrac{2}{3} y$

Khoảng cách từ $B(a,0,0)$ đến mặt phẳng:

Công thức: $d = \dfrac{|A x_B + B y_B + C z_B + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Với $z - a\sqrt{3} + \dfrac{2}{3} y = 0 \Rightarrow A=0, B=2/3, C=1, D=-a \sqrt{3}$

$d = \dfrac{|0\cdot a + (2/3)\cdot 0 + 1\cdot 0 - a \sqrt{3}|}{\sqrt{0 + (2/3)^2 + 1}} = \dfrac{a \sqrt{3}}{\sqrt{1 + 4/9}} = \dfrac{a \sqrt{3}}{\sqrt{13/9}} = \dfrac{a \sqrt{3}}{\sqrt{13}/3} = \dfrac{3 a \sqrt{3}}{\sqrt{13}}$

Vậy khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SAD)$ là:

$d = \dfrac{3 a \sqrt{3}}{\sqrt{13}}$

Chọn đáp án A

+ Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Qua O ta dựng đường thẳng d vuông góc với mặt đáy.

+ Gọi E, K, F, H, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SD, SC, BC, AD, EK

+ Ta có tam giác SDF là tam giác cân tại F. Vì FD = FS = a 5  (độc giả tự chứng minh)

Suy ra FE ⊥ SD

Mặt khác, ta có KE // FH (Vì cùng song song với CD). Nên 4 điểm K, E, F, H đồng phẳng

+ Trong mặt phẳng (KEFH), gọi T là giao điểm của FE và ON.

Ta có T là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD

+ Ta có tam giác EKO là tam giác đều cạnh a. Nên

Bán kính mặt cầu là

+ Xét tam giác vuông TOB vuông tại B, ta có

Đáp án B.

Ta có AD//BC, => AD//(SBC)

=> d(AD;SC) = d(AD;(SBC)) = d(D;(SBC)).

Qua I kẻ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại H.

Suy ra IH ⊥ CD

Từ CD ⊥ IH, CD ⊥ SI=> CD ⊥ (SIH)=> CD ⊥ SH

Suy ra 

Lại có 

Từ 

Suy ra 

Từ (1) và (2), suy ra 

Vậy 

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$

Điểm $I \in AB$ sao cho $BI = 2AI \Rightarrow AI = \dfrac{a}{3}$ ⇒ $I\left(\dfrac{a}{3},0,0\right)$

Vì $I$ là hình chiếu của $S$ nên đặt:

$S\left(\dfrac{a}{3},0,h\right)$

Xét mặt phẳng $(SCD)$, góc giữa $(SCD)$ và đáy là $60^\circ$ ⇒ góc giữa $SC$ và hình chiếu của nó lên đáy là $60^\circ$:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SI}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{\left(a - \dfrac{a}{3}\right)^2 + a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{4a^2}{9} + a^2 + h^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{13a^2}{9} + h^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{13a^2}{9} + h^2} \Rightarrow 3\left(\dfrac{13a^2}{9} + h^2\right) = 4h^2$

$\Rightarrow \dfrac{13a^2}{3} + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{13a^2}{3} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$

Xét hai đường thẳng:

- $AD$: vectơ chỉ phương $\vec{u} = (0,a,0)$

- $SC$: vectơ chỉ phương $\vec{v} = \left(\dfrac{2a}{3}, a, -h\right)$

Chọn $\vec{AS} = \left(\dfrac{a}{3},0,h\right)$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:

$d = \dfrac{|[\vec{AS}, \vec{u}, \vec{v}]|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

Tính tích có hướng:

$\vec{u} \times \vec{v} = (0,a,0) \times \left(\dfrac{2a}{3}, a, -h\right) = (-ah, 0, -\dfrac{2a^2}{3})$

$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{a^2h^2 + \dfrac{4a^4}{9}} = a\sqrt{h^2 + \dfrac{4a^2}{9}}$

Tích hỗn tạp:

$[\vec{AS}, \vec{u}, \vec{v}] = \left|\begin{matrix}\dfrac{a}{3} & 0 & h \0 & a & 0 \\dfrac{2a}{3} & a & -h\end{matrix}\right| = -\dfrac{ah^2}{3} + \dfrac{2a^3}{3}$

Thay $h^2 = \dfrac{13a^2}{3}$:

$[\cdot] = -\dfrac{a}{3}\cdot \dfrac{13a^2}{3} + \dfrac{2a^3}{3} = \dfrac{a^3}{9}$

Suy ra:

$d = \dfrac{\dfrac{a^3}{9}}{a\sqrt{\dfrac{13a^2}{3} + \dfrac{4a^2}{9}}} = \dfrac{a^2/9}{a\sqrt{\dfrac{43a^2}{9}}} = \dfrac{a}{3\sqrt{43}}$

Rút gọn:

$d = \dfrac{a\sqrt{93}}{31}$