Câu hỏi của Phạm Thùy Dương - Toán lớp 11 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo bài làm tại link này nhé!

Cộng đồng học tập online | Học trực tuyến

Lần sau các bài Toán lớp 10, 11, 12 các em đăng trong trang Cộng đồng học tập online | Học trực tuyến nhé! olm hầu như để giải đáp thắc mắc của HỌc sinh tiểu học và trung học em nhé :). Chúc em học tập tốt :)<3

Chọn A.

Xác định được

Vì M là trung điểm SA nên 

Kẻ AK  ⊥ DM và chứng minh được AK  ⊥ (CDM) nên 

Trong tam giác vuông MAD tính được 

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Xét cạnh $SC$:

$\vec{SC} = (a,2a,-h)$, $SC = \sqrt{a^2 + (2a)^2 + h^2} = \sqrt{5a^2 + h^2}$.

Góc giữa $SC$ và đáy là $60^\circ$ nên:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SC} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{5a^2 + h^2}}$.

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{5a^2 + h^2} \Rightarrow 3(5a^2 + h^2) = 4h^2$

$\Rightarrow 15a^2 + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = 15a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{15}$.

⇒ $S(0,0,a\sqrt{15})$.

Trung điểm: $M\left(0,0,\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right),\ N\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)$.

Xét mặt phẳng $(DMN)$:

$\vec{DM} = (0,-2a,\dfrac{a\sqrt{15}}{2}),\ \vec{DN} = \left(\dfrac{a}{2},-2a,\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)$.

Vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{DM} \times \vec{DN} = \left(0,\dfrac{a^2\sqrt{15}}{4},a^2\right)$.

Khoảng cách từ $S$ đến $(DMN)$:

$d = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{DS}|}{|\vec{n}|}$ với $\vec{DS} = (0,-2a,a\sqrt{15})$.

Tính: $\vec{n} \cdot \vec{DS} = 0 + \dfrac{a^2\sqrt{15}}{4}(-2a) + a^2 \cdot a\sqrt{15} = -\dfrac{a^3\sqrt{15}}{2} + a^3\sqrt{15} = \dfrac{a^3\sqrt{15}}{2}$.

$|\vec{n}| = \sqrt{\left(\dfrac{a^2\sqrt{15}}{4}\right)^2 + a^4} = a^2\sqrt{\dfrac{15}{16} + 1} = a^2\sqrt{\dfrac{31}{16}} = \dfrac{a^2\sqrt{31}}{4}$.

Suy ra: $d = \dfrac{\dfrac{a^3\sqrt{15}}{2}}{\dfrac{a^2\sqrt{31}}{4}} = \dfrac{2a\sqrt{15}}{\sqrt{31}}$.

Đáp án: A. $\dfrac{2a\sqrt{15}}{\sqrt{31}}$

Gọi I = AC ∩ MN ⇒ I là trung điểm của OC, ta có:

- Ta có: MN// BD mà BD ⊥ (SAC)(cmt) ⇒ MN ⊥ (SAC).

- Trong (SAC) kẻ AH ⊥ SI (H ∈ SI) ⇒ MN ⊥ AH.

- Ta có:

- Xét tam giác vuông SAI ta có:

Ta có \(\frac{d\left(A,\left(SCD\right)\right)}{d\left(M,\left(SCD\right)\right)}=2\Rightarrow d=\left(m,\left(SCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(A,\left(SCD\right)\right)\)

Dễ thấy AC _|_ CD, SA _|_ CD dựng AH _|_ SA => AH _|_ (SCD)

Vậy d(A,(SCD))=AH

Xét tam giác vuông SAC (A=1v) có \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{AS^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

Vậy suy ra \(d\left(M,\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

$E=AB\cap CD,G=EN\cap SB\Rightarrow G$ là trọng tâm tam giác SAE.

$d\left(M,\left(NCD\right)\right)=\frac{GM}{GB}d\left(B,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(B,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}d\left(A,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{4}d\left(A,\left(NCD\right)\right)=\frac{}{}$

Đáp án B.

Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Khi đó SH ⊥ (ABCD)

Ta có SH ⊥ AB; AB ⊥ HN; HN ⊥ SH và SH =  3

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H trùng với O, B thuộc tia Ox, N thuộc tia Oy và S thuộc tia Oz. Khi đó:  B(1;0;0), A(-1;0;0), N(0;2 3 ;0), C(1;2 3 ;0)

D(-1;2 3 ;0), S(0;0; 3 ), M( - 1 2 ; 0 ; 3 2 ), P(1; 3 ;0)

Mặt phẳng (SCD) nhận 

làm một vectơ pháp tuyến; mặt phẳng (MNP) nhận 

làm một vectơ pháp tuyến.

Gọi  φ là góc tạo bởi hai mặt phẳng (MNP) và (SCD) thì

Phân tích phương án nhiễu.

Phương án A: Sai do HS tính đúng 

nhưng lại tính sai Do đó tính được

Phương án B: Sai do HS tính đúng  nhưng lại tính sai 

Do đó tính được 

Phương án C: Sai do HS tính đúng  nhưng lại tính sai 

Do đó tính được 

- Gọi O là giao điểm của AC và BD.

- Kẻ: OI ⊥ AB, OH ⊥ SI.

+) Ta có:

+) Ta lại có:

- Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng góc 

+) Khi đó: CD // AB nên CD // ( SAB).

Suy ra:

- Ta có:

+) Tam giác ABC có BC = BA và  nên tam giác ABC đêù

- Trong tam giác OIA có:

+ SA⊥(ABCD)⇒SA⊥BDSA⊥(ABCD)⇒SA⊥BD (1)

+ ABCD là hình vuông ⇒AC⊥BD⇒AC⊥BD (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra BD⊥(SAC)⇒BD⊥SCBD⊥(SAC)⇒BD⊥SC