Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ và $S(0,0,a)$ vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$.
Vector pháp tuyến mặt phẳng $(SAB)$:
$\vec{SA} = (0,0,a),\ \vec{SB} = (a,0,a) \Rightarrow \vec{n_1} = \vec{SA} \times \vec{SB} = (0, a^2, 0)$
Vector pháp tuyến mặt phẳng $(SCD)$:
$\vec{SC} = (a,a,a),\ \vec{SD} = (0,a,a) \Rightarrow \vec{n_2} = \vec{SC} \times \vec{SD} = (0,-a^2, a^2)$
Góc giữa hai mặt phẳng:
$\cos \theta = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|} = \dfrac{|0 \cdot 0 + a^2 \cdot (-a^2) + 0 \cdot a^2|}{\sqrt{a^4}\cdot \sqrt{(-a^2)^2 + a^4}} = \dfrac{a^4}{a^2 \cdot \sqrt{2} a^2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Suy ra $\theta = 45^\circ$
Chọn B.
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ và $S(0,0,a)$ vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$.
Vector pháp tuyến mặt phẳng $(SAB)$:
$\vec{SA} = (0,0,a),\ \vec{SB} = (a,0,a) \Rightarrow \vec{n_1} = \vec{SA} \times \vec{SB} = (0, a^2, 0)$
Vector pháp tuyến mặt phẳng $(SCD)$:
$\vec{SC} = (a,a,a),\ \vec{SD} = (0,a,a) \Rightarrow \vec{n_2} = \vec{SC} \times \vec{SD} = (0,-a^2, a^2)$
Góc giữa hai mặt phẳng:
$\cos \theta = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|} = \dfrac{|0 \cdot 0 + a^2 \cdot (-a^2) + 0 \cdot a^2|}{\sqrt{a^4}\cdot \sqrt{(-a^2)^2 + a^4}} = \dfrac{a^4}{a^2 \cdot \sqrt{2} a^2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Suy ra $\theta = 45^\circ$
Chọn B.
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.
Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.
Góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và đáy bằng $60^\circ$, tức:
$\cos 60^\circ = \dfrac{|n_{SCD} \cdot n_{ABCD}|}{|n_{SCD}| \cdot |n_{ABCD}|} = \dfrac{1}{2}$
Vector pháp tuyến của đáy: $n_{ABCD} = (0,0,1)$
Vector pháp tuyến của $(SCD)$: $n_{SCD} = \vec{SC} \times \vec{SD}$
$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$
$\vec{SD} = \left(0 - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(-\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$
$\vec{SC} \times \vec{SD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \dfrac{a}{2} & a & -h \\ -\dfrac{a}{2} & a & -h \end{vmatrix} = (0, ah, a^2)$
$\cos \theta = \dfrac{|n_{SCD} \cdot n_{ABCD}|}{|n_{SCD}|} = \dfrac{|a^2|}{\sqrt{0^2 + (ah)^2 + (a^2)^2}} = \dfrac{a^2}{a\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$
Theo đề: $\cos \theta = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{h^2 + a^2} = 2a \Rightarrow h^2 = 3a^2 \Rightarrow h = a \sqrt{3}$
Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a \sqrt{3} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$
Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$
Chọn C.
Chọn đáp án C.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD thì B D ⊥ S A O
Đáp án D