S o B H A D G d H' C K

Câu a bạn tự tính nhé!

Câu b: Qua G kẻ đường thẳng d // CD , khoảng cách từ \(d\left(G;\left(SAB\right)\right)=d\left(d;\left(SAD\right)\right)\) 

Kẻ HH' vuông CD , nối SH'. Lúc này SH' cách d tại K . \(d\left(K;\left(SAB\right)\right)\) là khoảng cách cần tìm.

Ta có: S_H'AB =\(\frac{1}{2}S_{ABCD}\)=\(\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}a^2=\sqrt{3}a^2\) \(\Rightarrow HH'=\frac{\sqrt{3}a^2}{a}=\sqrt{3}a\) 

Vì K nằm trên d nên \(d\left(K;\left(SAB\right)\right)=\frac{2}{3}HH'=\frac{2\sqrt{3}a}{3}\)

Đáp án đúng : B

Đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{ABC}=60^\circ$ nên: $AC = a\sqrt3$.

Tâm $O$ của mặt cầu ngoại tiếp nằm trên đường trung trực của các cạnh.

Xét tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại trung điểm $M$ của $AB$.

Suy ra: $AM = MB = \dfrac{a}{2}$.

Trong tam giác đều $SAB$:

$SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Vì $SM \perp (ABCD)$ nên $SM$ là chiều cao.

Tâm $O$ của mặt cầu là trung điểm của $SM$:

$R = \dfrac{SM}{2} = \dfrac{\sqrt3}{4}a$.

Diện tích mặt cầu:

$S_{mc} = 4\pi R^2 = 4\pi \left(\dfrac{\sqrt3}{4}a\right)^2 = 4\pi \cdot \dfrac{3a^2}{16} = \dfrac{3\pi a^2}{4}$.

Vậy $S_{mc} = \dfrac{3\pi a^2}{4}$.

S B N M C D I K A

Gọi I là trung điểm của đoạn AB \(\Rightarrow SI\perp AB,\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SI\perp\left(ABCD\right)\)

Nên \(\widehat{SCI}=\left(\widehat{SC,\left(ABCD\right)}\right)=60^0,CI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SI=CI\tan60^0=\frac{3a}{2}\)

Gọi M là trung điểm của đoạn BC, N là trung điểm đoạn BM

\(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow IN=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Ta có : \(S_{ABCD}=2S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.\frac{3a}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)

Ta có \(BC\perp IN,BC\perp SI\Rightarrow BC\perp\left(SIN\right)\)

Trong mặt phẳng (SIN) kẻ \(IK\perp\left(SN\right),K\in SN\), ta có :

\(\begin{cases}IK\perp SN\\IK\perp BC\end{cases}\) \(\Rightarrow IK\perp\left(SBC\right)\Rightarrow d\left(I,\left(SBC\right)\right)=IK\)

Lại có : 

\(\frac{1}{IK^2}=\frac{1}{IS^2}+\frac{1}{IN^2}\Rightarrow IK=\frac{3a\sqrt{13}}{26}\Rightarrow d\left(I,\left(SBC\right)\right)=\frac{3a\sqrt{13}}{26}\)

                           \(\Rightarrow d\left(A,\left(SBC\right)\right)=\frac{3a\sqrt{13}}{13}\)

Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a,\ AD = 2a$ nên:

$AC = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt5$.

Mặt bên $SAB$ là tam giác đều cạnh $a$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên:

$S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại trung điểm $M$ của $AB$.

Suy ra: $AM = MB = \dfrac{a}{2}, \quad SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp, do đối xứng $O$ thuộc đường thẳng $SM$.

Đặt $OM = x \Rightarrow OS = x + \dfrac{\sqrt3}{2}a = R$.

Ta có: $OA^2 = OM^2 + AM^2 = x^2 + \dfrac{a^2}{4}$.

Mặt khác: $OS = R \Rightarrow R^2 = (x + \dfrac{\sqrt3}{2}a)^2$.

Vì $OA = OS$ nên: $x^2 + \dfrac{a^2}{4} = \left(x + \dfrac{\sqrt3}{2}a\right)^2$.

Giải ra: $x = \dfrac{a}{2\sqrt3}$.

Suy ra: $R = x + \dfrac{\sqrt3}{2}a = \dfrac{a}{2\sqrt3} + \dfrac{\sqrt3}{2}a = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.

Vậy $R = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.

Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = 3a,\ AD = a$ nên:

$AC = \sqrt{(3a)^2 + a^2} = a\sqrt{10}$.

Tam giác $SAB$ đều cạnh $3a$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên:

$S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại trung điểm $H$ của $AB$.

Suy ra: $AH = HB = \dfrac{3a}{2},\quad SH = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot 3a = \dfrac{3a\sqrt3}{2}$.

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp, do đối xứng $O \in SH$.

Đặt $OH = x \Rightarrow OS = x + \dfrac{3a\sqrt3}{2} = R$.

Ta có: $OA^2 = OH^2 + AH^2 + AD^2= x^2 + \left(\dfrac{3a}{2}\right)^2 + a^2= x^2 + \dfrac{9a^2}{4} + a^2= x^2 + \dfrac{13a^2}{4}$.

Mặt khác: $OS^2 = \left(x + \dfrac{3a\sqrt3}{2}\right)^2$.

Vì $OA = OS$ nên: $x^2 + \dfrac{13a^2}{4}= \left(x + \dfrac{3a\sqrt3}{2}\right)^2$.

Giải ra: $x = -\dfrac{5a}{2\sqrt3}$.

Suy ra: $R = x + \dfrac{3a\sqrt3}{2}= -\dfrac{5a}{2\sqrt3} + \dfrac{3a\sqrt3}{2}= \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.

Diện tích mặt cầu:

$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \dfrac{4a^2 \cdot 3}{9}= \dfrac{16\pi a^2}{3}$.

Vậy $S = \dfrac{16\pi a^2}{3}$.

Đáp án đúng : B

Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a,\ AD = a\sqrt3$ nên:

$AC = \sqrt{a^2 + 3a^2} = 2a$.

Vì $(SAB)\perp(ABCD)$ nên hình chiếu $H$ của $S$ lên đáy thuộc $AB$.

Tam giác $SAB$ có $\widehat{ASB}=60^\circ$ và đối xứng qua trung trực của $AB$ nên $H$ là trung điểm $AB$.

Suy ra: $AH = HB = \dfrac{a}{2}$.

Xét tam giác $SAB$:

$AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2SA\cdot SB \cos 60^\circ$.

Vì $SA = SB$ nên:

$a^2 = 2SA^2 - SA^2 = SA^2 \Rightarrow SA = a$.

Trong tam giác vuông $SAH$:

$SH^2 = SA^2 - AH^2 = a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{3a^2}{4}

\Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp, do đối xứng $O \in SH$.

Đặt $OH = x \Rightarrow OS = x + \dfrac{a\sqrt3}{2} = R$.

Ta có: $OA^2 = OH^2 + AH^2 + AD^2= x^2 + \dfrac{a^2}{4} + 3a^2= x^2 + \dfrac{13a^2}{4}$.

Mặt khác: $OS^2 = (x + \dfrac{a\sqrt3}{2})^2$.

Vì $OA = OS$ nên: $x^2 + \dfrac{13a^2}{4} = (x + \dfrac{a\sqrt3}{2})^2$.

Giải ra: $x = \dfrac{5a}{2\sqrt3}$.

Suy ra: $R = x + \dfrac{a\sqrt3}{2}= \dfrac{5a}{2\sqrt3} + \dfrac{a\sqrt3}{2}= \dfrac{4a\sqrt3}{3}$.

Diện tích mặt cầu:

$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \dfrac{16a^2 \cdot 3}{9}= \dfrac{64\pi a^2}{3}$.

Vậy $S = \dfrac{64\pi a^2}{3}$.