S o B H A D G d H' C K

Câu a bạn tự tính nhé!

Câu b: Qua G kẻ đường thẳng d // CD , khoảng cách từ \(d\left(G;\left(SAB\right)\right)=d\left(d;\left(SAD\right)\right)\) 

Kẻ HH' vuông CD , nối SH'. Lúc này SH' cách d tại K . \(d\left(K;\left(SAB\right)\right)\) là khoảng cách cần tìm.

Ta có: S_H'AB =\(\frac{1}{2}S_{ABCD}\)=\(\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}a^2=\sqrt{3}a^2\) \(\Rightarrow HH'=\frac{\sqrt{3}a^2}{a}=\sqrt{3}a\) 

Vì K nằm trên d nên \(d\left(K;\left(SAB\right)\right)=\frac{2}{3}HH'=\frac{2\sqrt{3}a}{3}\)

Đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{ABC}=60^\circ$ nên: $AC = a\sqrt3$.

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Do tính đối xứng, $O$ nằm trên đường trung trực của $AB$ và thuộc mặt phẳng vuông góc với $(ABCD)$.

Mặt bên $SAB$ là tam giác đều cạnh $a$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên:

$S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại trung điểm $M$ của $AB$.

Suy ra: $AM = MB = \dfrac{a}{2}$, $SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Xét tam giác vuông $OM A$:

$OA = OB = OC = OD$ nên: $OM^2 + AM^2 = R^2$.

Mặt khác: $OS = OM + SM$ và $OS = R$.

Giải hệ: $\begin{cases}R^2 = OM^2 + \dfrac{a^2}{4} \\R = OM + \dfrac{\sqrt3}{2}a\end{cases}$

Suy ra: $OM = \dfrac{a\sqrt3}{6}, \quad R = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.

Diện tích mặt cầu:

$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \dfrac{4a^2 \cdot 3}{9} = \dfrac{16\pi a^2}{3}$.

Vậy diện tích mặt cầu là: $S = \dfrac{16\pi a^2}{3}$.

Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = 3a,\ AD = a$ nên:

$AC = \sqrt{(3a)^2 + a^2} = a\sqrt{10}$.

Tam giác $SAB$ đều cạnh $3a$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên:

$S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại trung điểm $H$ của $AB$.

Suy ra: $AH = HB = \dfrac{3a}{2},\quad SH = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot 3a = \dfrac{3a\sqrt3}{2}$.

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp, do đối xứng $O \in SH$.

Đặt $OH = x \Rightarrow OS = x + \dfrac{3a\sqrt3}{2} = R$.

Ta có: $OA^2 = OH^2 + AH^2 + AD^2= x^2 + \left(\dfrac{3a}{2}\right)^2 + a^2= x^2 + \dfrac{9a^2}{4} + a^2= x^2 + \dfrac{13a^2}{4}$.

Mặt khác: $OS^2 = \left(x + \dfrac{3a\sqrt3}{2}\right)^2$.

Vì $OA = OS$ nên: $x^2 + \dfrac{13a^2}{4}= \left(x + \dfrac{3a\sqrt3}{2}\right)^2$.

Giải ra: $x = -\dfrac{5a}{2\sqrt3}$.

Suy ra: $R = x + \dfrac{3a\sqrt3}{2}= -\dfrac{5a}{2\sqrt3} + \dfrac{3a\sqrt3}{2}= \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.

Diện tích mặt cầu:

$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \dfrac{4a^2 \cdot 3}{9}= \dfrac{16\pi a^2}{3}$.

Vậy $S = \dfrac{16\pi a^2}{3}$.

Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a,\ AD = 2a$ nên:

$AC = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt5$.

Mặt bên $SAB$ là tam giác đều cạnh $a$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên:

$S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại trung điểm $M$ của $AB$.

Suy ra: $AM = MB = \dfrac{a}{2}, \quad SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp, do đối xứng $O$ thuộc đường thẳng $SM$.

Đặt $OM = x \Rightarrow OS = x + \dfrac{\sqrt3}{2}a = R$.

Ta có: $OA^2 = OM^2 + AM^2 = x^2 + \dfrac{a^2}{4}$.

Mặt khác: $OS = R \Rightarrow R^2 = (x + \dfrac{\sqrt3}{2}a)^2$.

Vì $OA = OS$ nên: $x^2 + \dfrac{a^2}{4} = \left(x + \dfrac{\sqrt3}{2}a\right)^2$.

Giải ra: $x = \dfrac{a}{2\sqrt3}$.

Suy ra: $R = x + \dfrac{\sqrt3}{2}a = \dfrac{a}{2\sqrt3} + \dfrac{\sqrt3}{2}a = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.

Vậy $R = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.

Đáp án D

Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều nên SH ⊥ AB mà (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, d là đường thẳng qua O và song song SH thì d ⊥ (ABCD) hay d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Trong mặt phẳng (SAB) từ G kẻ đường thẳng vuông góc với (SAB) cắt d tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính R = IS.

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0),\ D(0,2a,0)$.

Tam giác $SAD$ đều cạnh $2a$ và $(SAD)\perp(ABCD)$ nên: $S\left(0,a,a\sqrt3\right)$.

Xét khối chóp $S.ABC$.

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $S,A,B,C$.

Do $A,B,C$ nằm trên mặt phẳng $z=0$ nên: $O(x,y,z)$.

Ta có: $OA^2 = OB^2 = OC^2 = OS^2$.

Từ $OA = OB$: $x = \dfrac{a}{2}$.

Từ $OB = OC$: $y = \dfrac{a}{2}$.

Suy ra: $O\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2},z\right)$.

Từ $OA = OS$: $\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + z^2= \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}-a\right)^2 + (z - a\sqrt3)^2.$

Giải ra: $z = \dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Bán kính: $R = OA = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{3a^2}{4}}= \sqrt{\dfrac{5a^2}{4}}= \dfrac{a\sqrt5}{2}.$

Diện tích mặt cầu: $S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \dfrac{5a^2}{4}= 5\pi a^2.$

Vậy $S = 5\pi a^2$.

Đáp án đúng : B

Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a,\ AD = a\sqrt3$ nên:

$AC = \sqrt{a^2 + 3a^2} = 2a$.

Vì $(SAB)\perp(ABCD)$ nên hình chiếu $H$ của $S$ lên đáy thuộc $AB$.

Tam giác $SAB$ có $\widehat{ASB}=60^\circ$ và đối xứng qua trung trực của $AB$ nên $H$ là trung điểm $AB$.

Suy ra: $AH = HB = \dfrac{a}{2}$.

Xét tam giác $SAB$:

$AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2SA\cdot SB \cos 60^\circ$.

Vì $SA = SB$ nên:

$a^2 = 2SA^2 - SA^2 = SA^2 \Rightarrow SA = a$.

Trong tam giác vuông $SAH$:

$SH^2 = SA^2 - AH^2 = a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{3a^2}{4}

\Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp, do đối xứng $O \in SH$.

Đặt $OH = x \Rightarrow OS = x + \dfrac{a\sqrt3}{2} = R$.

Ta có: $OA^2 = OH^2 + AH^2 + AD^2= x^2 + \dfrac{a^2}{4} + 3a^2= x^2 + \dfrac{13a^2}{4}$.

Mặt khác: $OS^2 = (x + \dfrac{a\sqrt3}{2})^2$.

Vì $OA = OS$ nên: $x^2 + \dfrac{13a^2}{4} = (x + \dfrac{a\sqrt3}{2})^2$.

Giải ra: $x = \dfrac{5a}{2\sqrt3}$.

Suy ra: $R = x + \dfrac{a\sqrt3}{2}= \dfrac{5a}{2\sqrt3} + \dfrac{a\sqrt3}{2}= \dfrac{4a\sqrt3}{3}$.

Diện tích mặt cầu:

$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \dfrac{16a^2 \cdot 3}{9}= \dfrac{64\pi a^2}{3}$.

Vậy $S = \dfrac{64\pi a^2}{3}$.