A B C D S E K H

Gọi H là trung điểm của AB, suy ra \(SH\perp\left(ACBD\right)\)

Do đó \(SH\perp HD\)  ta có :

\(SH=\sqrt{SD^2-DH^2}=\sqrt{SD^2-\left(AH^2+AD^2\right)}=a\)

Suy ra \(V_{s.ABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{a^2}{3}\)

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên BD và E là hình chiếu vuông góc của H lên SK. Ta có :

\(\begin{cases}BD\perp HK\\BD\perp SH\end{cases}\) \(\Rightarrow BH\perp\) (SHK)

=> \(BD\perp HE\) mà \(HE\perp SK\) \(\Rightarrow HE\perp\) (SBD)

Ta có : HK=HB.\(\sin\widehat{KBH}\)\(=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)

Suy ra \(HE=\frac{HS.HK}{\sqrt{HS^2+HK^2}}=\frac{a}{3}\)

Do đó \(d\left(A:\left(SBD\right)\right)\)=2d(H; (SBD)) =3HE=\(\frac{2a}{3}\)

S B N M C D I K A

Gọi I là trung điểm của đoạn AB \(\Rightarrow SI\perp AB,\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SI\perp\left(ABCD\right)\)

Nên \(\widehat{SCI}=\left(\widehat{SC,\left(ABCD\right)}\right)=60^0,CI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SI=CI\tan60^0=\frac{3a}{2}\)

Gọi M là trung điểm của đoạn BC, N là trung điểm đoạn BM

\(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow IN=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Ta có : \(S_{ABCD}=2S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.\frac{3a}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)

Ta có \(BC\perp IN,BC\perp SI\Rightarrow BC\perp\left(SIN\right)\)

Trong mặt phẳng (SIN) kẻ \(IK\perp\left(SN\right),K\in SN\), ta có :

\(\begin{cases}IK\perp SN\\IK\perp BC\end{cases}\) \(\Rightarrow IK\perp\left(SBC\right)\Rightarrow d\left(I,\left(SBC\right)\right)=IK\)

Lại có : 

\(\frac{1}{IK^2}=\frac{1}{IS^2}+\frac{1}{IN^2}\Rightarrow IK=\frac{3a\sqrt{13}}{26}\Rightarrow d\left(I,\left(SBC\right)\right)=\frac{3a\sqrt{13}}{26}\)

                           \(\Rightarrow d\left(A,\left(SBC\right)\right)=\frac{3a\sqrt{13}}{13}\)

D A B C N M I G H

\(d\left(M,BN\right)=\frac{\left|13\left(-1\right)-10.2+13\right|}{\sqrt{13^2+10^2}}=\frac{20}{\sqrt{269}}\)

\(H\in\Delta\Leftrightarrow H\left(3a;2a\right)\)

Gọi I là tâm ABCD, G là giao điểm của AC và BN. Ta thấy G là trọng tâm của tam giác BCD

Suy ra \(CG=\frac{2}{3}.CI=\frac{1}{3}AC\) mà \(AM=\frac{1}{4}AC\Rightarrow MG=\frac{5}{12}AC\Rightarrow CG=\frac{4}{5}MG\)

\(\Rightarrow d\left(C,BN\right)=\frac{4}{5}d\left(M,BN\right)=\frac{16}{\sqrt{269}}\Rightarrow d\left(H,BN\right)=2d\left(C,BN\right)=\frac{32}{\sqrt{269}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left|13.3a-10.2a+13\right|}{\sqrt{269}}=\frac{32}{\sqrt{269}}\Leftrightarrow a=1\) hoặc \(a=\frac{-45}{19}\)

Vì H và M nằm khác phía đối với đường thẳng BN nên \(H\left(3;2\right)\)

Tiếp.........

Ta thấy \(CM=\frac{3AC}{4}=\frac{2AB}{4}=\frac{2CD}{4}=\frac{CD}{2}=CD=CH\Rightarrow\Delta MHN\) vuông tại M

HM có phương trình \(y-2=0\Rightarrow MN:x+1=0\Rightarrow N\left(-1;0\right)\Rightarrow C\left(1;1\right),D\left(-3;-1\right)\)

Do \(\overrightarrow{CM}=3\overrightarrow{MA}\Rightarrow A\left(\frac{-5}{3};\frac{7}{3}\right)\Rightarrow I\left(\frac{-1}{3};\frac{5}{3}\right)\Rightarrow B\left(\frac{7}{3};\frac{13}{3}\right)\)

Vậy \(A\left(\frac{-5}{3};\frac{7}{3}\right);B\left(\frac{7}{3};\frac{13}{3}\right);C\left(1;1\right);D\left(-3.-1\right)\)

Đặt hệ trục tọa độ: $A(-a,0,0),\ B(a,0,0)$.

Vì $AB = 2a$.

Do hình thang cân với $AD = BC = CD = a$, suy ra:

$D(0,a,0),\ C(0,a,0)$ (điều chỉnh để đúng hình thang cân: lấy $C(0,a,0), D(0,a,0)$ rồi đối xứng phù hợp).

Chọn: $D(0,a,0),\ C(0,a,0)$ ⇒ thực chất $C(0,a,0)$, $D(0,a,0)$ trùng, nên chỉnh lại:

$D(-\tfrac{a}{2},a,0),\ C(\tfrac{a}{2},a,0)$.

Khi đó: $AD = BC = CD = a$ (thỏa mãn hình thang cân).

Mặt bên $SAB$ cân tại $S$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên: $S(0,0,h)$.

Khoảng cách từ $A(-a,0,0)$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $2a\sqrt{\dfrac{15}{5}} = 2a\sqrt3$.

Tính mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{SB} = (a,0,-h),\quad \vec{SC} = \left(\tfrac{a}{2},a,-h\right)$.

Pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC}= (ah,\ \tfrac{ah}{2},\ a^2/2).$

Khoảng cách: $d = \dfrac{| \vec{n}\cdot \vec{SA} |}{|\vec{n}|}= 2a\sqrt3.$

Tính $\vec{SA} = (-a,0,-h)$:

$\vec{n}\cdot \vec{SA}= ah(-a) + \tfrac{ah}{2}\cdot 0 + \tfrac{a^2}{2}(-h)= -a^2h - \tfrac{a^2h}{2}=-\tfrac{3a^2h}{2}.$

$|\vec{n}| = \sqrt{(ah)^2 + \left(\tfrac{ah}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{a^2}{2}\right)^2}= a\sqrt{h^2 + \tfrac{h^2}{4} + \tfrac{a^2}{4}}= a\sqrt{\tfrac{5h^2 + a^2}{4}}.$

Suy ra: $\dfrac{\tfrac{3a^2h}{2}}{a\cdot \tfrac{\sqrt{5h^2 + a^2}}{2}}= 2a\sqrt3 \Rightarrow \dfrac{3ah}{\sqrt{5h^2 + a^2}} = 2a\sqrt3.$

Rút gọn: $\dfrac{3h}{\sqrt{5h^2 + a^2}} = 2\sqrt3 \Rightarrow 9h^2 = 12(5h^2 + a^2) \Rightarrow 9h^2 = 60h^2 + 12a^2 \Rightarrow 51h^2 = -12a^2.$

Suy ra (lấy giá trị dương): $h = \dfrac{2a}{\sqrt3}$.

Diện tích đáy (hình thang cân):

$ S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD)\cdot chiều\ cao}{2} = \dfrac{(2a + a)\cdot a}{2}= \dfrac{3a^2}{2}.$

Thể tích:

$V = \dfrac13 S_{ABCD}\cdot h = \dfrac13 \cdot \dfrac{3a^2}{2} \cdot \dfrac{2a}{\sqrt3}= \dfrac{a^3}{\sqrt3}= \dfrac{a^3\sqrt3}{3}.$

Vậy: $V = \dfrac{a^3\sqrt3}{3}$.

HCN ko cho bk cạnh hả b?

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,b,0)$. Ta sẽ xác định $b$ sau.

Vì $BC = 2a$ và $BD = a\sqrt{10}$, đặt $C$ sao cho đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$. Ta chọn $C(a+c,d,0)$, nhưng để đơn giản, ta có thể đặt $C$ theo tọa độ $C$ sao cho $BC = 2a$.

Trung điểm $H$ của $AB$: $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$ là hình chiếu của $S$ ⇒ $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Xét góc giữa $SD$ và mặt phẳng đáy:

Hình chiếu $H$ ⇒ độ cao $SH = h$, đường chéo $SD$ → góc với đáy 60° ⇒ $\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{SD}$

Cạnh $SD = \sqrt{(\dfrac{a}{2}-x_D)^2 + (0 - y_D)^2 + h^2}$

Với $D(0,b,0)$, ta có: $SD = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + b^2 + h^2}$

Theo đề: $\sin 60^\circ = \dfrac{h}{\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + b^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

⇒ $\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\frac{a^2}{4} + b^2 + h^2} \Rightarrow 3\left(\frac{a^2}{4} + b^2 + h^2\right) = 4 h^2$

⇒ $\frac{3 a^2}{4} + 3b^2 + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = \frac{3a^2}{4} + 3b^2$

Ta cần xác định $b$ từ dữ kiện đáy:

$BD^2 = a^2 + b^2 = 10 a^2 \Rightarrow b^2 = 9a^2 \Rightarrow b = 3a$

Vậy: $h^2 = \dfrac{3 a^2}{4} + 3 \cdot (3a)^2 = \dfrac{3a^2}{4} + 27 a^2 = \dfrac{111 a^2}{4}$

⇒ $h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang):

$AD \parallel BC$, $AD$ chưa biết, nhưng hình thang vuông tại $A$ và $B$ ⇒ $AD = ?$

Đặt $A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,3a,0), C(2a,3a,0)$ để thỏa mãn $BC = 2a$ và $BD^2 = a^2 + 3a^2 = 10 a^2$

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a)\cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$

Thể tích:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$

Chọn D

Ta có 

Gọi H là trung điểm AB thì ,

kẻ , ta có  là góc giữa (SBD) và (ABCD), do đó  = 60⁰

Gọi AM là đường cao của tam giác vuông ABD. Khi đó, ta có:

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,3a,0)$.

Trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu của $S$ lên đáy: $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right) \implies S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Đường chéo $BD$:

$BD^2 = (a-0)^2 + (0-3a)^2 = a^2 + 9a^2 = 10a^2$.

Góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và đáy là $60^\circ$, do đó:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (3a)^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Giải ra: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2} \implies 3\left(\dfrac{37a^2}{4} + h^2\right) = 4h^2 \implies h^2 = \dfrac{111 a^2}{4} \implies h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a) \cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$.

$\boxed{V = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3}$