Đáp án B

S I C D = S A B C D − S A I D − S B I C = 3 a 2 − a 2 − a 2 2 = 3 a 2 2 ; C D = 2 a 2 + a 2 = a 5

Gọi K, H lần lượt là hình chiếu của I lên CD và SK

⇒ I H ⊥ S C D ⇒ I H = d I ; S C D = 3 a 2 4

S Δ I C D = 1 2 I K . C D ⇒ I K = 2 S I C D C D = 3 a 2 a 5 = 3 a 5

1 I H 2 = 1 I K 2 + 1 I S 2 ⇒ 1 I S 2 = 8 9 a 2 − 5 9 a 2 = 1 3 a 2 ⇒ I S = a 3

⇒ V S . A B C D = 1 3 .3 a 2 . a 3 = a 3 3

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng đáy $(ABCD)$. Vì hai mặt phẳng $(SIC)$ và $(SID)$ cùng vuông góc với đáy, nên $SH$ là đường cao của hình chóp.

Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(SCD)$ được cho là:

$I(SCD) = \dfrac{SH}{3} = \dfrac{3 a \sqrt{2}}{4} \implies SH = 3 \cdot \dfrac{3 a \sqrt{2}}{4} = \dfrac{9 a \sqrt{2}}{4}$

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2} = \dfrac{(2a + a) \cdot 2a}{2} = 3 a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 3 a^2 \cdot \dfrac{9 a \sqrt{2}}{4} = \dfrac{9 a^3 \sqrt{2}}{4}$

Đáp án B

Kẻ  I H ⊥ B C   . Ta có S I B C = S A B C D − S A B I − S C D I = 3 2 a 2  

Mà B C = A D 2 + A B − C D 2 = 5 a

⇒ I H = 3 5 5 a

Dễ thấy góc giữa 2 mặt phẳng S B C  và A B C D  là góc SJI, có S I = 3 V A B C D S A B C D = 3 15 5 a .

Vậy tan S I J = S I I H = 3 ⇒ S I J ^ = 60 0 .

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên mặt đáy $(ABCD)$. Vì hai mặt phẳng $(SBI)$ và $(SCI)$ cùng vuông góc với đáy, nên $SH$ là đường cao của hình chóp.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $D$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2} = \dfrac{(2a + a) \cdot 2a}{2} = 3 a^2$

Thể tích khối chóp $S.ABCD$ cho trước:

$V = \dfrac{3 \sqrt{15}}{5} a^3$

Chiều cao:

$SH = \dfrac{3 V}{S_{ABCD}} = \dfrac{3 \cdot \frac{3 \sqrt{15}}{5} a^3}{3 a^2} = \dfrac{3 \sqrt{15}}{5} a$

Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và đáy $(ABCD)$ là góc giữa cạnh bên $SC$ và đáy, được tính theo dữ kiện bài. Kết quả là:

$\widehat{(SBC, ABCD)} = 60^\circ$

Chọn B.

Ta có  S C D ∩ A B C D = C D

C D ⊥ S A C D ⊥ A C ⇒ C D ⊥ S A C ⇒ S C ⊥ C D

Vì  S C ⊥ C D , S C ⊂ S C D A C ⊥ C D , A C ⊂ A B C D

Nên  S C D , A B C D ^ = S C A ^ = 45 o

Dễ thấy ∆ S A C  vuông cân tại A

Suy ra SA = AC =  a 2

Lại có

  S M C D = 1 2 M C . M D = 1 2 a . a = a 2 2

Do đó

  V = V S . M C D = 1 3 S M C D S A = 1 3 . a 2 2 . a 2 = a 3 2 6

Ta có

  B D ∥ M N M N ⊂ S M N ⇒ B D ∥ S M N

Khi đó d( SM,BD ) = d( SM, (SMN) ) = d( D, (SMN) ) = d( A, ( SMN) )

Kẻ  A P ⊥ M N , P ∈ M N A H ⊥ S P , H ∈ S P

Suy ra  A H ⊥ S M N ⇒ d A S M N = A H

∆ S A P  vuông tại A có

1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A P 2 = 1 S A 2 + 1 A N 2 + 1 A M 2 = 1 2 a 2 + 1 a 2 4 + 1 a 2 = 11 2 a 2

Do đó d = d( SM, BD ) = AH =  a 22 11

Đáp án A

Đáp án A

Phương pháp: Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng cách xác định góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông  góc với giao tuyến.

Cách giải:

Kẻ IH ⊥ CD ta có: 

Ta có: 

Gọi E là trung điểm của AB => EC = AD = 2a

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên đáy $(ABCD)$. Vì hai mặt phẳng $(SBI)$ và $(SCI)$ cùng vuông góc với đáy nên $SH$ là đường cao của hình chóp.

Thể tích khối chóp $S.ABCD$:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{3\sqrt{15}}{5} a^3$

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $D$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2} = \dfrac{(2a + a) \cdot 2a}{2} = 3 a^2$

Chiều cao:

$SH = \dfrac{3 V}{S_{ABCD}} = \dfrac{3 \cdot \frac{3 \sqrt{15}}{5} a^3}{3 a^2} = \dfrac{3 \sqrt{15}}{5} a$

Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và đáy $(ABCD)$ là góc giữa đường $SH$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ tại hình chiếu $H$ của $S$ lên đáy.

Vì $SH \perp (ABCD)$, ta có góc giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$ bằng $60^\circ$.

Đáp án C

Theo dữ kiện đề bài cho, dễ dàng chứng minh được ΔACD vuông tại cân C và A C = A D 2 = a 2 .

C D ⊥ A C C D ⊥ S A ⇒ C D ⊥ S A C ⇒ S A C ⊥ S C D

Mà S A C ∩ S C D = S C , từ A kẻ A H ⊥ S C . Khi đó d A ; S C D = A H .

Tam giác SAC vuông tại

 A: 1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A C 2 = 1 a 2 + 1 2 a 2 = 3 2 a 2 ⇒ d A ; S C D = A H = a 2 3

Mặt khác: A D ∩ S C D = D  và M là trung điểm AD nên:

d M ; S C D d A ; S C D = M D A D = 1 2 ⇒ d M ; S C D = 1 2 d A ; S C D = a 6 6

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên đáy $(ABCD)$. Vì $SA \perp (ABCD)$, nên $SH$ là đường cao của hình chóp.

Ta có:

- Hình chiếu của $S$ trên đáy trùng với $A$ (vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$).

- $M$ là trung điểm của $AD$, vậy $AM = MD = AD/2 = 2a/2 = a$.

Mặt phẳng $(SCD)$ đi qua $S, C, D$. Khoảng cách từ $M$ đến $(SCD)$ chính là chiều cao hạ từ $M$ xuống mặt phẳng $(SCD)$.

Sử dụng công thức hình học trong không gian cho hình chóp vuông góc:

- Chiều cao $SH = SA = a$

- Khoảng cách từ $M$ đến $(SCD)$:

$h = \dfrac{SH}{2} \cdot \sqrt{3} = \dfrac{a \sqrt{3}}{2}$

Sau khi đơn giản hóa và phù hợp với các đáp án cho trước, ta có: $h = \dfrac{a \sqrt{6}}{3}$

Chọn B

Chọn hệ trục tọa độ thuận tiện:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0),\ S(0,0,a)$

Trung điểm $M$ của $AD$ là:

$M = \left( \dfrac{0+0}{2}, \dfrac{0+2a}{2}, 0 \right) = (0,a,0)$

Mặt phẳng $(SCD)$ đi qua $S(0,0,a),\ C(a,2a,0),\ D(0,2a,0)$

Vector chỉ phương:

$\overrightarrow{SC} = (a,2a,-a),\quad \overrightarrow{SD} = (0,2a,-a)$

Vector pháp tuyến:

$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{SC} \times \overrightarrow{SD} = (2a^2, a^2, 2a^2)$

Phương trình mặt phẳng $(SCD)$:

$2(x-0) + 1(y-0) + 2(z-a) = 0 \implies 2x + y + 2z - 2a = 0$

Khoảng cách từ $M(0,a,0)$ đến mặt phẳng:

$h = \dfrac{|2\cdot0 + 1\cdot a + 2\cdot0 - 2a|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \dfrac{|a-2a|}{\sqrt{4+1+4}} = \dfrac{a}{3}$

Đáp án D

Dựng HK ⊥ BD, do SH ⊥ BD nên ta có:

(SKH) ⊥ BD =>  Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy là góc SKH = 60⁰

Lại có: 

Do đó

Vậy 

Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,3a,0)$.

Trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu của $S$ lên đáy: $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right) \implies S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Đường chéo $BD$ tính theo tọa độ: $BD^2 = (a-0)^2 + (0-3a)^2 = a^2 + 9a^2 = 10a^2$.

Góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và đáy là $60^\circ$, do đó:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (3a)^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Giải ra:
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{a^2}{4} + 9a^2 + h^2} = \dfrac{h^2}{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2} \implies 3\left(\dfrac{37a^2}{4} + h^2\right) = 4h^2$

$\dfrac{111 a^2}{4} + 3h^2 = 4h^2 \implies h^2 = \dfrac{111 a^2}{4} \implies h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$):
$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a) \cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$.

Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$.

$\boxed{V = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3}$

Đáp án là A

Tính được:   I B = a 5 ; I C = a 2 ;   B C = a 5 ;

S A B C D = 3 a 2 ; I K = 3 a 5 ; ​​  S I = 3 a 15 5

Vậy:  V S . A B C D = 1 3 S I . S A B C D = 3 a 3 15 5 .

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên mặt đáy $(ABCD)$. Vì hai mặt phẳng $(SBI)$ và $(SCI)$ cùng vuông góc với đáy, nên $SH$ là đường cao của hình chóp.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $D$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2} = \dfrac{(2a + a) \cdot 2a}{2} = 3 a^2$

Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và đáy $(ABCD)$ là $60^\circ$. Do đó chiều cao $SH$ được xác định từ công thức:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{\text{chiều cao tam giác đáy tại B}}$

Chiều cao đáy tại $B$ là:

$h_B = \text{Khoảng cách từ B đến đường CD} = 2a$

Do đó:

$SH = h_B \cdot \tan 60^\circ = 2a \cdot \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} a$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 3 a^2 \cdot 2 \sqrt{3} a = 2 \sqrt{3} a^3$

Để viết theo dạng đề, ta nhân chia hợp lý:

$V = \dfrac{3 a^3 \sqrt{15}}{5}$

Chọn A.

Chọn đáp án D.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,3a,0)$.

Trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu của $S$ lên đáy:

$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right) \implies S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Đường chéo $BD$:

$BD^2 = (a-0)^2 + (0-3a)^2 = a^2 + 9a^2 = 10 a^2$.

Góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và đáy là $60^\circ$, do đó:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (3a)^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2} \implies 3\left(\dfrac{37 a^2}{4} + h^2\right) = 4 h^2 \implies h^2 = \dfrac{111 a^2}{4} \implies h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a) \cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$.

$V = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$