(SD;(ABCD))=(DS;DA)=góc SDA

tan SDA=SA/AD=3/2

=>góc SDA=56 độ

ĐÁP ÁN: D

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Xét cạnh $SD$:

$\vec{SD} = (0,2a,-h),\ SD = \sqrt{(2a)^2 + h^2} = \sqrt{4a^2 + h^2}$.

Góc giữa $SD$ và đáy là $60^\circ$ nên:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SD} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{4a^2 + h^2}}$.

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{4a^2 + h^2} \Rightarrow 3(4a^2 + h^2) = 4h^2$

$\Rightarrow 12a^2 + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = 12a^2 \Rightarrow h = 2a\sqrt{3}$.

⇒ $S(0,0,2a\sqrt{3})$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$:

$\vec{SB} = (a,0,-2a\sqrt{3}),\ \vec{SD} = (0,2a,-2a\sqrt{3})$.

Vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = (4a^2\sqrt{3},\ 2a^2\sqrt{3},\ 2a^2)$.

Khoảng cách từ $A$ đến $(SBD)$:

$d = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{SA}|}{|\vec{n}|}$ với $\vec{SA} = (0,0,2a\sqrt{3})$.

Tính: $\vec{n} \cdot \vec{SA} = 2a^2 \cdot 2a\sqrt{3} = 4a^3\sqrt{3}$.

$|\vec{n}| = \sqrt{(4a^2\sqrt{3})^2 + (2a^2\sqrt{3})^2 + (2a^2)^2} = a^2\sqrt{48 + 12 + 4} = a^2\sqrt{64} = 8a^2$.

Suy ra: $d = \dfrac{4a^3\sqrt{3}}{8a^2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên hình chiếu vuông góc của điểm $S$ xuống mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm $A$.

Xét đường thẳng $SD$:

Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(ABCD)$ chính là góc giữa $SD$ và hình chiếu của nó lên mặt phẳng $(ABCD)$.

Hình chiếu của $SD$ xuống $(ABCD)$ là đoạn $AD$.

Do đó góc cần tìm là góc giữa $SD$ và $AD$, tức là:
$\widehat{SDA}$.

Đáp án: C. $\widehat{SDA}$

Đáp án C

Kẻ AH ⊥BD

Khi đó  

Mà   nên góc giữa (SBD) và (ABCD) là SHA=α.

Suy ra 

Do đó 

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$: $\vec{SB} = (a,0,-h),\ \vec{SD} = (0,2a,-h)$.

Vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = (2ah,\ ah,\ 2a^2)$.

Mặt phẳng $(ABCD)$ có vectơ pháp tuyến: $\vec{k} = (0,0,1)$.

Góc giữa hai mặt phẳng là $\alpha$, ta có:
$\cos\alpha = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}|}$.

Tính: $\vec{n} \cdot \vec{k} = 2a^2$

$|\vec{n}| = \sqrt{(2ah)^2 + (ah)^2 + (2a^2)^2} = a\sqrt{5h^2 + 4a^2}$

Suy ra: $\cos\alpha = \dfrac{2a^2}{a\sqrt{5h^2 + 4a^2}} = \dfrac{2a}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}}$

$\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{5h^2}}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}} = \dfrac{h\sqrt{5}}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}}$

Do đó: $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{h\sqrt{5}}{2a}$

Vì đề không cho $SA$ nên góc không cố định theo $h$.

Trong các đáp án chỉ có dạng hằng số phù hợp với trường hợp chuẩn (lấy $h = 2a$ như bài quen thuộc), khi đó:

$\tan\alpha = \dfrac{2a\sqrt{5}}{2a} = \sqrt{5}$.

Đáp án: C. $\sqrt{5}$

Sửa đề: SC tạo với đáy góc 45 độ

(SC;(ABCD))=45 độ

=>(CS;CA)=45 độ

=>góc SCA=45 độ

\(AC=\sqrt{2\cdot AB^2}=2a\sqrt{2}\)

=>SA=2a*căn 2

=>\(SC=\sqrt{2\cdot SA^2}=4a\)

Kẻ AH vuông góc SD

CD vuông góc AD

CD vuông góc SA

=>CD vuông góc (SAD)

=>CD vuông góc AH

=>AH vuông góc (SCD)

=>d(A;(SCD))=AH

\(SD=\sqrt{SA^2+AD^2}=2\sqrt{3}\cdot a\)

=>\(AH=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}a\)

AH vuông góc SD

AB vuông góc AH

=>d(AB;SD)=AH=a*2căn 6/3

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = 2a$ nên đặt $S(0,0,2a)$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$: $\vec{SB} = (a,0,-2a),\ \vec{SD} = (0,2a,-2a)$.

Vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = (4a^2,\ 2a^2,\ 2a^2)$.

Mặt phẳng $(ABCD)$ có vectơ pháp tuyến: $\vec{k} = (0,0,1)$.

Góc giữa hai mặt phẳng là $\alpha$, ta có:
$\cos\alpha = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}|}$.

Tính: $\vec{n} \cdot \vec{k} = 2a^2$

$|\vec{n}| = \sqrt{(4a^2)^2 + (2a^2)^2 + (2a^2)^2} = a^2\sqrt{16 + 4 + 4} = a^2\sqrt{24} = 2a^2\sqrt{6}$

Suy ra: $\cos\alpha = \dfrac{2a^2}{2a^2\sqrt{6}} = \dfrac{1}{\sqrt{6}}$

$\sin\alpha = \sqrt{1 - \dfrac{1}{6}} = \sqrt{\dfrac{5}{6}}$

Do đó: $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{\sqrt{5/6}}{1/\sqrt{6}} = \sqrt{5}$

a: BC vuông góc AB; BC vuông góc SA

=>BC vuông góc (SAB)

b: (BS;(BACD))=(BS;BA)=góc SBA

tan SBA=SA/AB=căn 5/2

=>góc SBA=48 độ

(SC;(ABCD))=(CS;CA)=góc SCA

tan SCA=SA/AC=1

=>góc SCA=45 độ